第八章 假设检验8.1 假设检验设检验 与两类错误类错误8.2 正态总态总 体参数的假设检验设检验8.3 非正态总态总 体均值值的假设检验设检验8.4 非参数假设检验11本章引言统计推断的另一类问题是假设检验问题。在总体的分布函数完全未知或只知其形式、不知其参数的情况下，为了推断总体的某些未知特性，提出关于总体的某些假设(如提出总体服从泊松分布的假设；又如对于正态总体提出数学期望等于0的假设等)，然后根据样本对所提出的假设做出是接受，还是拒绝的决策。假设检验是做出这一决策的过程。 参数假设检验 假设检验非参数假设检验2本章先说明一般假设检验问题的提法和假设检验过程中存在的两类错误。重点掌握单正态总体均值与方差的检验和两正态总体均值与方差的检验。非正态总体均值的假设检验和非参数假设检验作为一般了解。 38.1 假设检验与两类错误8.1.1 假设检验问题的提法例 去市场买荔枝，商贩称其荔枝是糯米糍。通常的做法是吃一个看看。若是真就买，不真就走开。这一做法就含有假设检验的思想。第1步：假设小贩所言为真(原假设)；第2步：吃一个(抽取样本，做检验 )；第3步：走开或买(根据样本和统计 理论作出判断)。这里的第1步为假设，第2，3步为检验 。4455667788991010111112定义义2 称值为显 著性水平(或检验 水平)，它是用来衡量原假设与实际 情况差异是否明显的标准。定义义3 拒绝域的边界点k称为临 界点。小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不发生的。问题：概率小到什么程度才当作“小概率事件”呢？这要据实际情况而定，例如即使下雨的概率为10%，仍有人会因为它太小而不带雨具。但某航空公司的事故率为1，人们就会因为它太大而不敢乘坐该公司的飞机。通常把概率不超过0.05(或0.01)的事件当作“小概率事件”。为此在假设检验时，必须先确定小概率即显著性的值(即不超过的概率认为是小概率)。 121 38.1.2 假设检验的两类错误第一类错误：H0正确，但拒绝了它，这类错误也称为“拒真错误” (“弃真错误”)。犯这类错误的概率记为，即 = (拒绝H0|H0真)第二类错误：H0不正确，但接受了它，这类错误称为“受伪错误” (“存伪错误”) 。犯这类错误的概率记为，即 =(接受H0|H0伪)关于犯两类错误的概率和的几点说明：首先，1-，并且可以证明，在样本容量一定时，同时缩小两类错误时不可能的。13当样本容量n一定时，犯第一类错误的概率越小，则犯第二类错误的概率就会越大。如不轻易相信一个消息的真实性时(犯第二类错误的可能性较小)，就可能犯贸然拒绝的错误(犯第一类错误的可能性较大)；而轻信(容易犯第二类错误)就很少有拒绝错的风险(不易犯第一类错误)。当现实中样本容量不可能无限制的大，从而同时控制两类错误就不可能。一般是尽量控制第二类错误的概率不超过某个值0的前提下，使犯第一类错误的概率尽可能小。1414实际应用中常用的是只控制第一类错误而不控制第二类错误的检验方法，即显著性检验。或者说，当原假设H0“显著地”不真或不正确时，就拒绝H0；否则不拒绝或勉强接受H0。这里“显著地”不真，是指当原假设H0成立时，某事件发生的概率很小，几乎不会发生，但是却在一次试验中发生了，这说明原假设H0明显不真。 1515关于显著性检验的说明：显著性检验方法实际上是“保护”原假设H0的。因为仅当小概率事件发生时，才拒绝H0。但小概率事件通常几乎不发生，故显著性检验不轻易拒绝原假设 H0 。如果显著性检验的结果拒绝了原假设H0，该推断的可信性较高；若显著性检验的结果不拒绝原假设H0，此时接受原假设H0的推断对原假设H0的成立缺乏说服力。因为大概率事件在一次试验中发生是应该的。鉴于上述说明，若想用显著性检验对某一猜测结论作强有力的支持时，应该将该猜测结论的反面作为原假设H0。 161617171818假设检验的基本步骤：（1）提出假设设。（2）选选取统计统计 量(含待检验 参数且分布已知，便于求概率)。（3）求临临界点(接受域)。（4）计计算统计统计 量的观测值观测值 。（5）作出判断。19198.2 正态总体参数的假设检验一. 单个正态总体的假设检验1. 已知方差 ，假设检验设检验 H0:=0(1)提出假设。 H0:=0， H1:0(2)选取统计 量。确定样本函数的统计 量(3) 求临界点。2020(4) 求统计量的观测值。根据给定的样本，求出统计量u的观测值u1。(5) 作出判断。这种检验方法称为u检验法。2121222223例 某砖厂生产的砖的抗拉强度X服从正态分布N(,1.12)，今从该厂产品中随机抽取6块，测得抗拉强度(单位:MPa)如下：32.56，29.66，31.64 ，30.00 ，31.87 ，31.03检验这批砖的平均抗拉强度为32.50是否成立，取显著性水平=0.05。解 (1) 提出假设. H0:=0=32.50， H1:32.50 。(2) 选取统计量2324242. 未知方差2，假设检验H0:=0(1) 提出假设H0 :=0，H1:0(2) 构造统计量因2未知，这时u已不是统计量，所以不能用u检验法，用 代替2，选取统计量2525(3) 求临界点。对给定的显著水平(00III00IV=00V00表8.1 单个正态总体均值的假设检验的拒绝域 (显著性水平为)292930303131例 某涤纶厂的生产的维尼纶的纤度(纤维的粗细程度)在正常生产的条件下，服从正态分布N(1.405 , 0.0482)，某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为1.32 ，1.55 ，1.36 ，1.40 ，1.44 问一天涤纶纤度总体X的方差是否正常(取显著性水平=0.05)?323233333434353536363737表8.2 单个正态总体方差 的假设检验的拒绝域（显著性水平为 ）38序号H0H1已知未知IIIIIIIVV3839二. 两个正态总体的假设检验3940404141424243434444例 某卷烟厂生产两种香烟，现分别对 两种烟的尼古丁含量作了6次测量，结果为甲厂：25，28，23，26，29，22乙厂：28，23，30，35，21，27若香烟中尼古丁含量服从正态分布，且方差相等，问这两种香烟中尼古丁含量有无显著差异(=0.05)？45454646序号 H0 H1 已知已知 未知未知IIIIIIIVV表8.3 两个独立正态总 体均值差的假设检验 的拒绝 域(显著性水平为)474748484949505051515252535354545555序号 H0 H11, 2已知已知 1, 2未知未知IIIIIIIVV表8.4 两个正态总体方差的假设检验的拒绝域(显著性水平为)56568.3 非正态总体均值的假设检验非正态总体参数的假设检验是利用近似分布给出拒绝域，并要求样本容量n30。非正态总体参数拒绝域的构造方法与正态总体参数假设检验拒绝域的构造方法相同。一. 单个总体X的均值EX的假设检验问题5757二. 两个总总体X和Y的均值值差EX-EY的假设检验问题设检验问题5858598.4 非参数假设检验前面讨论的关于参数的假设检验，都是假定总体的分布类型已知。但有些时候，事先并不知道总体服从什么分布，需要对总体的分布类型进行推断。本节将讨论总体分布的假设检验问题，这类检验称为非参数假设检验。这里所研究的检验 是如何用子样去拟合总体分布，所以又称为分布的拟合优度检验 。一般有两种：1. 拟合总体的分布函数。2. 拟合总体分布的概率函数。下面介绍一种常用的总体分布假设检验 方法：2拟拟合优优度检验检验 (2拟合用2分布近似代替某统计 量的分布)。59608.4.1 多项分布的2拟合检验设总体X服从多项分布Xa1a2akpp1p2pk606161例 7台机床在相同的条件下，独立地完成相同的工序。在一段时间 内统计 7台机床出现故障数的资料如下：试问故障发生次数是否与机床质量有关(显著性水平=0.05)?62机床代号1234567故障次数2101181319762638.4.2 一般分布的2拟拟合检验检验步骤骤如下：636464656566666767例 随机地抽取了1975年2月份新生儿(男)50名，测其体重如下(单位:g)：2520，3540，2600，3320，3120，3400，2900，2420，3280，3100，2980，3160，3100，3460，2740，3060，3700，3460，3500，1600，3100，3700，3280，2880，3120，3800，3740，2940，3580，2980，3700，3460，2940，3300，2980，3480，3220，3060，3400，2680，3340，2500，2960，2900，4600，2780，3340，2500，3300，3640试以显著性水平=0.05检验新生儿(男)体重是否服从正态分布。68686969707071717272区间编号vipinpi120.0633.150.420 250.0984.900.002 370.1658.250.189 4120.21010.500.214 5100.1969.800.004 6110.1457.251.940 730.1236.151.613 总计501504.38273求解 时的中间量数据表73书书面作业业(P157P159)8.158.187474