5.1平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模 )平面向量是自由向量零向量长度为零的向量； 其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于1 个单位的向量非零向量a 的单位向量为 a |a|平行向量方向相同或相反的非零向量0 与任一向量平行或共线 共线向量方向相同或相反的非零向量又叫作共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为0 2. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义 ) 运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba. 结合律：(ab)ca(bc). 减法求 a 与 b的相反向量 b 的和的运算叫作 a 与 b的差三角形法则aba(b) 数乘求实数 与向量 a的积的运| a| |a|；当 0 时， a的方向与 a的方向相 ( a)a；( )a a a；算同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时， a0 (ab) a b3. 共线向量定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量b 与非零向量a 共线1 若 a“向东走8 km”， b“向北走8 km”，则 |a b| _；ab 的方向是_2. 如图， 在平行四边形ABCD 中，E 为 DC 边的中点， 且AB a，ADb，则 BE_. 3 已知 D 为三角形ABC 边 BC 的中点，点 P 满足 PABPCP0，AP PD，则实数 的值为 _4 已知 O 是 ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边的中点，且 2OAOBOC0， 那么 () A.AOODB.AO2ODC.AO3ODD 2AOOD5 (2012 四川 )设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|b |b|成立的充分条件是() Aa bB abCa2bD ab且|a| |b| 题型一平面向量的概念辨析例 1给出下列命题：若 |a|b|，则 ab；若 A， B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则 ac； a b的充要条件是|a|b|且ab. 其中正确命题的序号是_下列命题中正确的是() Aa 与 b 共线， b 与 c 共线，则a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则a 与 b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的线性运算例 2如图，以向量 OAa，OBb 为邻边作 ?OADB ， BM1 3BC，CN1 3CD，用 a，b 表示 OM，ON，MN. 在 ABC 中， ABc，ACb，若点 D 满足 BD2DC，则 AD等于 () A.2 3b1 3cB.53c2 3bC.23b1 3cD.13b2 3c题型三共线向量定理及应用例 3设两个非零向量a 与 b不共线，(1)若AB ab，BC2a8b，CD3(ab)，求证： A、B、D 三点共线；(2)试确定实数k，使 kab 和 akb 共线设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC2BD，CE2EA，AF2FB，则 ADBECF与 BC() A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例： (14 分)如图所示，在ABO 中， OC1 4OA，OD1 2OB，AD 与 BC 相交于点 M，设 OAa，OBb.试用 a 和 b表示向量 OM. A 组专项基础训练(时间： 35 分钟，满分： 57 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a0 ( 为实数 )，则 必为零； ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为() A1B2C3D4 2 设 P 是 ABC 所在平面内的一点，BCBA2BP，则() A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0 3 已知向量 a，b不共线， cka b (kR)，d ab.如果 cd，那么() Ak1 且 c与 d 同向Bk1 且 c 与 d 反向Ck 1 且 c与 d 同向Dk 1 且 c 与 d 反向4 (2011 四川 )如图，正六边形ABCDEF 中， BACDEF等于 () A0 B.BEC.ADD.CF二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 5 设 a、b 是两个不共线向量，AB 2apb，BCa b，CDa2b，若 A、B、D 三点共线，则实数p 的值为 _6 在?ABCD 中， ABa，ADb，AN3NC，M 为 BC 的中点，则 MN_(用a，b表示 )7 给出下列命题：向量 AB的长度与向量 BA的长度相等；向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；向量 AB与向量 CD是共线向量，则点A、B、 C、 D 必在同一条直线上其中不正确的个数为_三、解答题 (共 22 分) 8 (10 分 )若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时， a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上？9 (12 分)如图，在 ABC 中，E、F 分别为 AC、AB 的中点， BE 与 CF 相交于 G 点，设 AB a，ACb，试用 a，b 表示 AG. B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分： 43 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 15 分) 1 (2012 浙江 )设 a，b 是两个非零向量() A若 |ab| |a|b|，则 abB若 ab，则 |ab|a| |b| C若 |a b| |a|b|，则存在实数 ，使得 b aD若存在实数 ，使得 b a，则 |ab|a|b| 2 已知 ABC 和点 M 满足 MAMBMC0，若存在实数m 使得 ABACmAM成立，则 m 等于() A2 B3 C4 D5 3 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足： OPOAAB|AB|AC|AC|， 0， )，则 P 的轨迹一定通过ABC 的() A外心B内心C重心D垂心二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 4已知向量a， b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、 b 共线的条件是_(将正确的序号填在横线上)2a3b4e，且 a2b 3e；存在相异实数 、 ，使 a b0；x ay b0(实数 x，y 满足 xy 0)；若四边形ABCD 是梯形，则 AB与CD共线5. 如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点M、N，若 ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为 _6 在 ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点，若AD2DB， CD13CA CB，则 _. 三、解答题7 (13 分 )已知点 G 是 ABO 的重心， M 是 AB 边的中点(1)求GAGBGO；(2)若 PQ 过 ABO 的重心G，且 OAa，OBb，OPma，OQnb，求证：1 m1 n3.