小学六年级奥数教案 21 枚举法本教程共30 讲枚举法我们在课堂上遇到的数学问题， 一般都可以列出算式， 然后求出结果。 但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它 们的算式， 似乎无从下手。 但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的 对象能够被一一列举出来， 或能被分类列举出来， 那么问题就可以通过枚 举法获得解决。 所谓枚举法，就是根据题目要求， 将符合要求的结果不重 复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。例 1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两 枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们 两人谁获胜的可能性大。分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与 8的各种情况都列举出来， 就可得到问题的结论。用ab 表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子 的点数是 b 的情况。出现 7 的情况共有 6 种，它们是：16，25，34，43，52，61。出现 8 的情况共有 5 种，它们是：26，35，44，53，62。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现7 的情况有 16，25，34 三种，出现 8 的情况有 26，35，44 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一 样大”，那就错了。例 2 数一数，右图中有多少个三角形。分析与解： 图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好 数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分 组成的、由 3 部分组成的 , 再一类一类地列举出来。单个的三角形有 6 个：1 ，2，3，5，6，8。由两部分组成的三角形有4 个：（1，2），（ 2，6），（ 4，6），（ 5，7）。由三部分组成的三角形有1 个：（ 5，7，8）。由四部分组成的三角形有2 个：（1，3，4，5），（ 2，6，7，8）。由八部分组成的三角形有1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有 64121=14（个）。对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。例 3 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？分析与解： 上珠一个表示 5，下珠一个表示 1。分三类枚举：（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500 三个数；（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000 四个数；（3）一颗上珠、一颗下珠时， 可表示 5001，5010，5100，1005，1050， 1500，6000七个数。一共可以表示 3 47=14（个）四位数。由例 13 看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结 果一一列举出来； 当可能的结果较多时， 就需要分类枚举， 分类枚举是我 们需重点学习掌握的内容。 分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不 遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。例 4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么， 共有多少种不同的展开图？分析与解： 我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面） 来 分类，可以分为三类：最长一行有 4 个正方形的有 2 种，见图（ 1）（2）；最长一行有 3 个正方形的有 5 种，见图（ 3）（ 7）；最长一行有 2 个正方形的有 1 种，见图（ 8）。不同的展开图共有2518（种）。例 5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门， 且相邻两天不做同一门。 如果小明第一天做语文， 第五天也做语文， 那么， 这五天作业他共有多少种不同的安排？分析与解： 本题是分步进行一项工作， 每步有若干种选择， 求不同安 排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法 原理与加法原理来计算， 而本题中由于限定条件较多， 很难列出算式计算。 但是，我们可以根据实际的安排， 对每一步可能的选择画出一个树枝状的 图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。由上图可知，共有6 种不同的安排。例 6 一次数学课堂练习有3 道题，老师先写出一个，然后每隔5 分 钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有 题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如 果老师没有写出新题， 那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同 顺序共有多少种可能？分析与解：与例 5 类似，也是分步完成一项工作， 每步有若干种可能， 因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。由上图可知，共有5 种不同的顺序。说明： 必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程， 表示在第一个 5 分钟内做完了第 1 题，在第二个 5 分钟内没做完第 2 题， 这时老师写出第 3 题，只好转做第 3 题，做完后再转做第2 题。例 7 是否存在自然数 n，使得 n2n2 能被 3 整除？分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对 象是所有自然数， 自然数有无限多个， 那么能否用枚举法呢？我们将自然 数按照除以 3 的余数分类， 有整除、余 1 和余 2 三类，这样只要按类一一 枚举就可以了。当 n 能被 3 整除时，因为 n2，n 都能被 3 整除，所以（n2n2）3 余 2；当 n 除以 3 余 1 时，因为 n2，n 除以 3 都余 1，所以（n2n2）3 余 1；当 n 除以 3 余 2 时，因为 n23 余 1，n3 余 2，所以（n2n2）3 余 2。因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2n2）都不能被 3 整除。练习 211.10 种。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+3 1+1+2+2 1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1 。2.9 种。解：一天吃完有 1 种：（10）；两天吃完有 5 种： （3，7）， （4，6）， （5，5），（ 6，4），（ 7，3）；三天吃完有 3 种：（ 3，3，4），（ 3， 4，3），（ 4，3，3）。共 1+5+3=9 （种）。3.8 种。解：如下图所示， 只有 1 个小矩形竖放的有3 种，有 3 个小矩形竖放 的有 4 种，5 个小矩形都竖放的有1 种。共 341=8（种）。4.6 个。解：15 个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6 种：（1，2，3， 9），（ 1，2，4，8，）（ 1，2，5，7），（ 1，3，4，7），（ 1，3，5， 6），（ 2，3，4，6）。可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6 个球。5.10 个。提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1 个，共有 432110（个）。6.6 种。提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：7.14 种。提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：练习 21 1. 将 6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？2. 小明有 10 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少 种不同的吃法？3. 用五个 12 的小矩形纸片覆盖右图的25 的大矩形，共有多少种 不同盖法？4.15 个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？5. 数数右图中共有多少个三角形？6. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一盘，并最终获胜。 问：各盘的胜负情况有多少种可能？7. 经理有 4 封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的 信，比如打完第 3 封信时第 4 封信还未到，此时如果第2 封信还未打完，那么就应先打第 2 封信而不能打第 1 封信。打字员打完这 4 封信的先后顺 序有多少种可能？答案与提示练习 211.10 种。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+3 1+1+2+2 1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1 。2.9 种。解：一天吃完有 1 种：（10）；两天吃完有 5 种： （3，7）， （4，6）， （5，5），（ 6，4），（ 7，3）；三天吃完有 3 种：（ 3，3，4），（ 3， 4，3），（ 4，3，3）。共 1+5+3=9 （种）。3.8 种。解：如下图所示， 只有 1 个小矩形竖放的有3 种，有 3 个小矩形竖放 的有 4 种，5 个小矩形都竖放的有1 种。共 341=8（种）。4.6 个。解：15 个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6 种：（1，2，3， 9），（ 1，2，4，8，）（ 1，2，5，7），（ 1，3，4，7），（ 1，3，5， 6），（ 2，3，4，6）。可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6 个球。5.10 个。提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1 个，共有 432110（个）。6.6 种。提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：7.14 种。提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：