第三节第三节泰勒公式泰勒公式第三章第三章二、典型例题二、典型例题一、主要内容一、主要内容三、同步练习三、同步练习四、同步练习解答四、同步练习解答一、主要内容一、主要内容(一一) 泰勒泰勒(Taylor)公式公式 1. 泰勒公式的建立泰勒公式的建立回顾：回顾：特点特点:)(01xp )(0xf= = )(0xf = =)(xf)()(000xxxfxf + + )(1xp以直代曲以直代曲0x)(1xp)(01xpxxy )(xfy = =O设设 f (x)在在 x0处可导，则处可导，则)1,0)(00时且当时且当+=+=xxxf = =)()(xfkQ )1(x+ +1= =x + +2xnx)(xRn+ +其中其中= =)(xRn11)1(!)1()()1(+ nnxxnn L)10( + += =xxxf已知已知)1ln(x+ +x= =22x 33x+ +nxn + +)(xRn+ +其中其中= =)(xRn11( 1) (1)(1)nnnx nx + + + + +)10(+xxxx证明证明例例532 25 )1(161 821xxxx +=+= ).0(82112 +xxxx)10( 证证例例6上具有三阶连续在闭区间设函数上具有三阶连续在闭区间设函数1 , 1)( xf, 0)0(, 1)1(, 0)1(= = = = = fff且且. 3)()1 , 1(= = f，使内至少存在一点，使内至少存在一点区间区间!3)( !2)0()0()0()(32xfxfxffxf + += + +=32)(61)0(21)0(xfxff + += + +=之间之间，和介于其中和介于其中x0 由麦克劳林公式有由麦克劳林公式有证明在开证明在开导数，导数，从而从而)1(0 = = f)01(1 两式相减得两式相减得)(61)0(21)0(1 fff += +=)1(1f= =)10(2 )(61)0(21)0(2 fff + += + +=6)()(21= = + + ff从而从而由介值定理，由介值定理，和最大值上必有最小值在和最大值上必有最小值在又又Mmxf)(2, 1 ,)()(21 21Mffm + + 使得使得),1 , 1(2, 1 . 3)()(21)(21= + = = + = fff的几阶时是当试问函数的几阶时是当试问函数xxxx0sin 无穷小量？无穷小量？2.计算计算cosx的近似值的近似值,使其精确到使其精确到0.005 , 试确定试确定x的适用范围的适用范围.用近似公式用近似公式三三、同步练习同步练习1.! 21cos2xx3.计算无理数计算无理数e 的近似值的近似值, 使误差不超过使误差不超过.106 4.43443lim20xxxx + + +求求5.3cos2elim402xxxx+求求6.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限.)1(sinelim30xxxxxx+7.cossin1sinlim20xxxxx + +求求8.上有二阶导数上有二阶导数，在设，在设10)(xf,| )(|axf ,| )(|bxf .212| )(|)1 , 0(bacfc+有+有其中其中a, b是非负数，求证：对一切是非负数，求证：对一切上二阶可导上二阶可导，在设函数在设函数,)(baxf= = )(af且且9.使得使得, 0)(= = bf),(ba 试证明存在一点试证明存在一点. | )()(|)(4| )(|2afbfabf )1()0(ff= =, 0= =,| )(|)1 , 0(Axfx 时，且当时，且当10.x 0证明当证明当.2| )(|1Axf时，时，有二阶连续导数，设函数有二阶连续导数，设函数)(xf= = =)(, 0)(,)(bfafnbaxf阶导数，上有在设阶导数，上有在设, 0)()()()1(= = = bfbfbfnL 则必存在则必存在11. 0)(),()(= = nfba使使解解的几阶时是当试问函数的几阶时是当试问函数xxxx0sin 无穷小量？无穷小量？),(! 3sin33 xxxx +=+=因为因为四四、同步练习解答同步练习解答1.故故),0()(! 3sin33 +=+=xxoxxx.sin0的三阶无穷小量是时，所以当的三阶无穷小量是时，所以当xxxx 2.计算计算cosx的近似值的近似值,使其精确到使其精确到0.005 , 试确定试确定x的适用范围的适用范围.解解近似公式的误差为近似公式的误差为)cos(!4)(43xxxR = =.244x 令令,005. 0244 x解得解得,588. 0 x即当即当588. 0 x时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到0.005 .用近似公式用近似公式! 21cos2xx在在3.计算无理数计算无理数e 的近似值的近似值, 使误差不超过使误差不超过.106 解解xe中令中令x= 1 , 得得e).10(!)1(e !1 !2111+=+= nnL,3ee0由于由于 欲使欲使)1(nR!)1(3 +n,106 的麦克劳林公式的麦克劳林公式e !91 !2111+L.718281. 2= =由计算可知当由计算可知当n = 9时上式成立时上式成立,因此因此解解x4312+=+=43+ +x21 )431(2x+=+=用洛必塔法则计算繁用洛必塔法则计算繁!2x用泰勒公式将分子展到项用泰勒公式将分子展到项, 由于由于2= =x43+ +),(169 4122xox + 2= =)43(211x+! 21)121(21 2)43( x)(2xo+ +4.43443lim20xxxx + + +求求x34 21 )431(2x=2= =20limxx= =)(169 2122xox + .329= =x43 ).(169 4122xox +类似地类似地，2043443limxxxx + + +解解),(!211e4422xoxxx+=+=Q),(!4!21cos542 xoxxx+=+=),()!412!21(3cos2e442xoxxx+=+=+.127)(127lim4440=+ =+ = xxoxx原式原式5.3cos2elim402xxxx+求求6.),(!3!21e332 xoxxxx+=+=),(!3sin33 xoxxx+=+=利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限解解3333320)1()(!3)(!3!21( limxxxxoxxxoxxxx+ =+ = 原式原式33330()2!3!lim xxxo xx+ =+ =.31= =.)1(sinelim30xxxxxx+解解xxsin1+ +)(132xx +=+=xcos7.因为因为)0(),(4332+=+=xxx x2sin22)(xx +=+=.cossin1sinlim20xxxxx + +求求)(21132xx +=+=)(21132xx +=+=)(41132xx +=+=xxxcossin1 + +)0(),(32+=+=xxx .34= =所以所以xxxxxcossin1sinlim20 + +)(43)(lim 32320xxxxx+= += 证证8.上有二阶导数上有二阶导数，在设，在设10)(xf,| )(|axf ,| )(|bxf .212| )(|)1 , 0(bacfc+有+有),1 , 0( c对任意给定的对任意给定的处有二阶在点所以函数处有二阶在点所以函数cxxf= =)(泰勒中值公式成立泰勒中值公式成立，即即2)(!2)()()()(cxfcxcfcfxf +=+= 其中其中a, b是非负数，求证：对一切是非负数，求证：对一切有二阶导数，有二阶导数，上，在上，在因因10)(xf,之间与在其中之间与在其中xc 时时，和特别当和特别当10= = =xx. 1,010 cc其中其中两式相减得两式相减得,)0(!2)()0)()()0(20cfccfcff +=+= ,)1(!2)()1)()()1(21cfccfcff +=+= )()1)(!21)()0()1(2 02 1cfcfcfff += +=)1(222ccbaa+于是于是)()1)(! 21)0() 1 ()(2 02 1cfcfffcf = =| )0(| ) 1 (| )(|ffcf+ + | )(|)1 ( | )(|! 212 02 1cfcf + + + +,| )(|axf )1 , 0(,| )(| cbxf122222+=+=ccba.22ba +1)1(222+ccba证证上二阶可导上二阶可导，在设函数在设函数,)(baxf= = )(af且且9.使得使得, 0)(= = bf),(ba 试证明存在一点试证明存在一点. | )()(|)(4| )(|2afbfabf 有点应用泰勒公式点与分别在有点应用泰勒公式点与分别在,ba= =)(xf2 1)(! 21)()(axfaxafaf + + )(1xa ,)()(! 21)(2 1axfaf += += ,2bax+ +=在上面两式中令=在上面两式中令)1(= =)()2(可得可得xf2 2)(! 21)()(bxfbxbfbf + + )(2bx ,)()(! 21)(2 2bxfbf += += 2 1)()(81)()2(abfafbaf +=+ +=+ 2 2)()(81)()2(abfbfbaf +=+