数列极限几种解法初探 湛江师范学院数科院 09 数本 2 梁德君 20092245010数列极限几种求法初探数列极限几种求法初探梁德君 （湛江师范学院数学与计算科学学院 湛江 524048） 摘要摘要：极限论是数学分析的基础，极限的问题一直是数学分析的困难之一，也 是许多科学领域的重要思想之一，然而数列极限又是极限的基础。同时涉及数 列极限的问题有很多，包括极限的求法，数列极限的证明，极限的存在等。因 为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要。一般极限还可以用定义来 求，但对于一些复杂极限，直接按照极限的定义求就显得非常困难，不仅计算 量大，而且不一定能求出最终结果，下面初步总结了极限的几种求法，并且以 实例来加以说明。 关键词关键词：数列极限，定义法，级数性法，迫敛性，单调有界原理，压缩法，柯 西判别法，错位法，拆分法，公式法，定积分定义法，定积分性质法，归结原 则Preliminary analysis about the several methods of Series LimitLIANG Dejun(Mathematics and computational science school,Zhanjiang Normal University,Zhanjiang ,524048)Abstract:The limit is the basis of mathematical analysis ,limit question is always one of the difficulties of mathematical analysis,and it is also one of the important ideas in many scientific fields.However,Series limit is the basis of the limit.At the same time the problems what relate to series limit are o lot,including to the methods of limit,the poor of series limit,the existence of such limits .Because of the importance of limits,it is particularly important how it is done.Definition can be used to solve general limit,but it is very difficult for a number of complex limit.Not only it takes us much time to solve it ,but also we not sure to get the results.Below several methods will be described and several examples will be used to illustrate them.Keyword：Series-Limit Definition-method Series resistance method convergence-property monotonicity-principle compression-process Cauchys convergence test formula-method Definite integral definition method Definite integral property method Principles boil down数列极限几种解法初探 湛江师范学院数科院 09 数本 2 梁德君 20092245011目录目录1 1、最基本最常用的方法最基本最常用的方法定义定义法法332 2、迫敛迫敛性性333 3、判别数列极限的几种方判别数列极限的几种方法法 5 53.13.1 柯西收敛准柯西收敛准则则 5 53.23.2 单调有界原单调有界原理理 5 53.33.3 两种判别方两种判别方法法 7 73.3.13.3.1 有界变差数有界变差数列列 7 7数列极限几种解法初探 湛江师范学院数科院 09 数本 2 梁德君 200922450123.3.23.3.2 压缩数压缩数列列 7 74 4、利用函数的某些性质来求数列极利用函数的某些性质来求数列极限限 7 75 5、利用施笃兹公式以及其它方法求利用施笃兹公式以及其它方法求解解 9 95.15.1 施笃兹公式求施笃兹公式求解解 9 95.25.2 级数求级数求解解 10105.35.3 定积分定义定积分定义法法 12125.45.4 定积分性质定积分性质法法 12125.55.5 错位错位法法 1313数列极限几种解法初探 湛江师范学院数科院 09 数本 2 梁德君 200922450135.65.6 拆分拆分法法 13136 6、结结语语 14147 7、参考文参考文献献 14141 1、最基本最常用的方法最基本最常用的方法定义法定义法定义定义 1 1 设为数列,a 为实数,若对任给的正数 ,总存在正整 na数 N,使得当时有, 则称数列收敛于 a,实数 a 称为nN|naa na数列的极限,并记作或. nalimnnaa ()naa n 读作：当 n 趋于无穷大时,的极限等于 a 或趋于 a。由于 n 限于取正整数,所以在nana数列极限的记号中把写成,即或.n n limnnaa ()naa n 例例 1 1、设、设lim0nnxa xax 。证明limnxxa 。证明方法（1）：因为lim0nnxa xax 。故（取） ，,021NN,有nxa22.nnnxaxaaxaa于是Nn 241naxaa，由的任意性limnxxa 。数列极限几种解法初探 湛江师范学院数科院 09 数本 2 梁德君 20092245014证明方法（2）：2limlim(1)0nxxnnxaa xaxa2lim1,limnxxnaxaxa从而小结：设通过此例总结出运用论证法的大致步骤：）任意给定”“N-；）令；）推出；）取，再用语0 Axn)(n)(NN-言顺述并得出结论。2 2、迫敛性、迫敛性定理定理2.12.1（迫敛性）（迫敛性）设收敛数列，都以a为极限，数列 na nb满足存在正整数，当时有，则数列收敛， nc0NnNn nnncba nc且。acn n lim例例 2 2、求极限 。2 1lim(1)sinnnkkk nn二、解法1 容易发现直接化为黎曼和的形式有困难.注意到 ,3sin()xxO x=+由于，333366 11|1()|20,()nnkkkkkOCnnnn 所以22 11lim1sinlim1nnnnkkkkkk nnnn.65)(1)(lim102122 dxxxnnk nknkn解法 2（利用数列夹逼准则）利用，得 31sin6xxxx3326221sin6kkkk nnnn,332622 111111(1)1sin16nnnnkkkkkkk kkkkk nnnnnnnn由于，333366 11|1|20,()nnkkkkknnnn 2 1lim1nnkkk nn数列极限几种解法初探 湛江师范学院数科院 09 数本 2 梁德君 20092245015，65)(1)(lim102122 dxxxnnk nknkn所以 .2 15lim(1)sin6nnkkk nn