XXX 学校毕业论文（设计）毕业论文（设计）开题报告题 目:对角化矩阵的应用 姓 名: 学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 指导教师: 职称: 2015 年 1 月 10 日一、研究的目的、意义与应用前景等： 研究目的：研究目的：对角化矩阵在数学计算方面的应用十分广泛. 本课题将系统性地介绍可对角化矩阵条件和性质，并给出相应的其几个应用，以便后期用其去研究其他学科或内容提供参考和便利.研究意义：研究意义：本课题研究的矩阵可对角化是矩阵的奇异值分解、特征值分解和 CS分解的基础，矩阵对角化问题与特征值密切相关，在矩阵乘法运算、矩阵方程、矩阵理论、二次型化标准形及线性变换等方面有着广泛的应用.应用前景：应用前景：随着计算机的发展，矩阵对角化的应用前景也变得更为广阔. 对角化矩阵是一类最简单的矩阵，它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、计算机等中起着重要的作用.二、研究的内容和拟解决的主要问题：研究的内容：研究的内容：矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题. 本课题通过矩阵对角化的几个条件，对角化矩阵的性质和矩阵对角化的方法来研究矩阵对角化问题，然后列举矩阵对角化在几个方面的应用，分别是：求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求解数列通项公式与极限，求解行列式的值.拟解决的主要问题：拟解决的主要问题：(1) 如何判断两个矩阵是否相似；(2) 如何求出特殊矩阵的特征值；(3) 如何求解数列的通项公式和极限.三、研究思路、方法和当前收集的文献：研究思路：研究思路：首先简单介绍矩阵对角化的概念，然后介绍矩阵对角化的充分必要条件，最后矩阵对角化的应用 方法：方法：查阅文献资料；对资料进行分析研究、归纳综合当前收集的文献：当前收集的文献：1北京大学教学系几何与代数教研室高等代数(第二版)M北京：高等教育出版社,19882胡显佑主编线性代数挚习指导天津：南开大学出版社,19973刘九兰,张乃一,曲问薄主编线性代数考研,天津：天津大学出版社,2000.54谢国瑞主编线性代数及应用北京：高等教育出版社.19995张学元主编线性代数能力试题题解武汉：华中理工大学出版社,2000四、特色或创新之处：（1）将矩阵对角化问题与数列求解问题结合起来研究（2）将矩阵对角化运用到向量空间和线性变换中去.五、研究计划及预期进展：第一阶段（2014.09.102015.1.5）确定课题，并根据课题查阅和收集资料,确定论文的写作提纲,交指导老师审阅第二阶段（2015.1.62015.1.16）按照指导老师审阅后的论文提纲进行开题报告的填写,交指导老师审阅第三阶段（2015.1.172015.3.22）完成毕业论文的中期检查报告和外文资料的翻译，参加学院组织的毕业论文中期检查。第四阶段（2015.3.232015.4.2）根据提纲,进一步收集、整理和分析资料,撰写论文,形成初稿,交指导老师审阅第五阶段（2015.4.32015.4.24）根据指导老师的指导意见反复修改、充实、完善,最后形成终稿,准备论文答辩XXXXXX 学校学校毕业论文（设计）外文资料翻译毕业论文（设计）外文资料翻译学 院 ：专业班级 ： 学生姓名 ：学 号：指导教师 ：外文出处 ：(外文)The cyclic nature of the matrix diagonalization method to find a matrix 附 件 ： 1.外文资料翻译译文； 2.外文原文 指导教师评语：该同学选取的外文翻译资料与专业相关，是插值方面的文章，而且对于该课题的写作有一定的参考价值译文简洁、脉络清晰、语句通顺，但个别专有名词还有所欠缺该文是一篇合格的翻译作品签名： 2015 年 3 月 22 日1外文资料翻译译文利用循环矩阵的性质寻找矩阵对角化的方法利用循环矩阵的性质寻找矩阵对角化的方法对角矩阵是一类最简单的矩阵，它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、计算机等中起着重要的作用。研究矩阵对角化问题很有实用价值。本文主要介绍利用循环矩阵的性质寻找矩阵对角化的方法。文中涉及的基本定义文中涉及的基本定义定义定义 1 1 设是阶方阵,如果存在数和维非零向量,使得， 则AnnxxxA称是矩阵的一个特征值, 是的属于的一个特征向量。AxA定义定义 2 2 设为阶方阵,称行列式)(ijaA nnnnnaaaaIA1111 )(det为的特征多项式,记为,而称为的特征方程。 A)(F0)(FA定义定义 3 3 阶方阵称为可逆的,如果存在阶方阵,使得,其nAnBIBAAB中是阶单位矩阵。In定义定义 4 4 设, 是阶方阵,若存在阶可逆矩阵,使得,则称ABnnPBAPP1与相似,称为的相似矩阵。 ABBA定义定义 5 5 如果数域上,对级矩阵存在一个可逆矩阵使为对角形PnATATT1矩阵,则称矩阵在数域上可对角化;当可对角化时,我们说将对角化,即APAA指求可逆矩阵使为对角形矩阵。TATT1文中涉及的基本定理文中涉及的基本定理定理定理 1 1 阶方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是由个线性无关的nAAn特征向量,且当相似于对角矩阵时,的主对角线元素就是的全部特征值。AAAA推论推论 1 1 方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是的属于每个特征值的线AA性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数。定理定理 2 2 如果阶方阵有个互不相同的特征值（即的特征值都是单特nAnA征值）,则必相似于对角矩阵。A利用循环矩阵性质寻找矩阵对角化的方法利用循环矩阵性质寻找矩阵对角化的方法1.1.基本循回阵相似于对角阵基本循回阵相似于对角阵阶矩阵称为基本循回阵。n100000010000001000000100000010P它满足于如下性质：nn kknkIPnkIIP n) 11 (00，求出基本循回阵的特征多项式：P10000110000001000001000001nPI因为特征多项式有个不同特征根：01nn）（1-n, 2, 1, 0k2isin2cosnk nkk所以,基本循回阵相似于对角阵。P下面求出特征向量：取，1 -nk1k则有,=(因为)100000010000001000000100000010P1 -nk1k 12kkk1n k从而为特征根对应的的特征向量.作矩阵：1 -nk1kkP 1 11 21 31 21 12 12 22 32 22 12 12 22 32 22 1123211111111111n nn nnnnn nn nnnnnnnnT因为为行列式，所以可逆,TeVandermondT0)(10 njiijT.132111nPTT2.2.循回方阵相似于对角阵循回方阵相似于对角阵矩阵称为循回阵,0321301221011210ccccccccccccccccQnnnnnn可以由基本循回阵的多项式求出来：Q1n 12 210 PcPcPcIcQn设： 1n 12 210f xcxcxccxn）（)(1n 12 21011 PcPcPcIcTQTTn1n1 121 21 10)()( PTTcPTTcPTTcIcn)()()()() 1 (1321nfffff所以循回阵可以对角化.3.3.任意任意阶矩阵阶矩阵可以对角化的充要条件是可以对角化的充要条件是相似于一个相似于一个阶循回阵阶循回阵. .nAAn证明证明: :充分性充分性: :若相似于循回阵.即存在可逆阵使,但ACQACC1)()()()() 1 (13211nfffffQTT所以ACTCTACTCT111)()()()()() 1 (1321nfffff即相似于对角阵.A必要性必要性:若可以对角化,即存在可逆方阵使得ACnACC211用次多项式作一方程组如下：1n1n 12 210)( xtxtxttxfn即: ，nnfff)()() 1 (1211 .ttt1 1111021 111101110nn nnnn nntttttt ，该方程组的系数行列式为 Vandermonde 行列式, 1 11 21 31 21 12 12 22 32 22 12 12 22 32 22 1123211111111111n nn nnnnn nn nnnnnnnnT0)(10 njiij从而由 Cramer 法则知方程由唯一解. 设阶为, 则次多项式为),(110nccc1-n1n 12 210c)( xcxcxcxfn取矩阵其中为基本循回矩阵,从而为1n 12 210)( PcPcPcIcPfQnPQ循回阵,且有nACC211)()()()() 1 (1321nfffffQTT1所以,即相似于循回阵。11111)(QTCTCQTCCTAAQ2.外文原文 The cyclic nature of the matrix diagonalization method to find a matrixDiagonal matrix is a kind of simple matrix, which as quantum mechanics, radio, electronics and information engineering, computer plays an important role in many fields. Matrix diagonalization of great practical val