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高等数学教学课件第八章 微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程内容导航 什么是微分方程 分离变量法 微分方程的应用(1) 二阶常系数线性微分方程 数学建模:微分方程应用(2) 8-1 什么是微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程引例1:曲线过点(1,2),且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程?解 设所求曲线y=f ( x ) ,根据导数的几何意义得 (1)此外还应满足条件 把方程(1)两边积分,得 即 把条件 代入(2),得C=1 把 C=1代入(2)式,即得所求曲线方程 8-1 什么是微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程引例2:质量为M的物体,受重力作用自由下降,试求物体下 落的运动规律? 解 设所求运动规律为s=s ( t ) ,根据导数的力学意义,未知 函数s=s ( t ) 应满足方程 (4)由于自由落体的初始位置和初始速度均为零,未知函数 s=s ( t )满足条件 把方程(4)两边积分,得 (5)再积分一次,得 (6)其中 都是任意常数. 将条件分别代入(5)、(6)内,得于是所求的运动规律为8-1 什么是微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程5、特解通常可以按照问题的条件从通解中确定任意常数的特 定值而得到,用来确定特解的条件,称为初始条件1、含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程 相关概念2、微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数,叫做 微分方程的阶3、如果把某个函数代入微分方程,能使方程恒等,这个方程 称为微分方程的解;求微分方程的解的过程,叫做解微分方程 4、微分方程的解有不同的形式,常用的两种形式是:一种是 解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,这样的解称为微分方程的通解;另一种是解不含 任意常数,称为特解8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程解简单微分方程常用的方法:将方程进行变形,然后等式两边进行积分。例:求解一阶微分方程解 变形为 然后两边积分,得 于是 即 ,其中C为任意常数,可以验证,函数 是方程的通解。 8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程一般地,形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程。 求解基本方法是:先变形、后积分。8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例 3 求微分方程 的通解 解 原方程可改写为 分离变量,得 两边积分,得 于是 即 ,这就是所求的微分方 程的通解。8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例4 求方程 满足初始条件 的特解解 原方程可改写为分离变量,得 两边积分,得 化简,得 令 于是 这就是所求的微分 方程的通解。把初始条件 代入上式,求得C=11,于 是所求微分方程的特解为 。8-3 微分方程应用(1) 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程增长与衰减 用分离变量法解实际中经常出现的方程分离变量,得 两边积分,得 即 其中,于是系数A为正值,所以 所以,微分方程 总是联系于指数增长 或 指数衰减 。8-3 微分方程应用(1) 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例5 当一次谋杀发生后,尸体温度从原来的370C, 按照牛顿冷却定律(一块热的物体其温度下降的 速度是与其自身温度同外界温度的差值成正比的 关系),开始变凉,假设两小时后尸体温度变为 350C,并且假定周围空气的温度保持200C不变(1)求出自打谋杀发生后尸体温度是如何作为时间 的函数而变化的; (2)画出温度时间曲线; (3)最终尸体的温度将如何?用图像和代数两种方 式表示出最终结果; (4)如果尸体被发现时的温度为300C ,时间为下 午4点整,那么谋杀时何时发生的?8-3 微分方程应用(1) 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程解 (1)按冷却定律建立方程温度变化率=a温度差=a(H-20), 其中a为比例常 数,H 为尸体温度于是 考虑a的正负号,如果温度差是 正的(即H20)、则是H下降的,所以温度的变化 率就应是负的,因此a 应为负的,于是 分离变量求解,得代入初始值(t=0时,H=37)求B, 于是 为了求K的值,我们根据两小时后尸 体温度为350C这一事实,有 化简,取对数得 , 于是温度函数为8-3 微分方程应用(1) 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程(2)作草图如下:(3)“最终趋势”指 ,取极限(4)求多长时间尸体温度达到300C,即令H=30,代入得 ,两边取自然对数得 即t8.4 (小时)于是,谋杀一定发生在下午4点这一尸体被发现时的前8.4小时 (即8小时24分),所以谋杀是在上午7点36分发生的。t t0 0H H2020H=20+17eH=20+17e-0.063t-0.063t 37378-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程形如 的二阶微分方程称为 二阶常系数线性齐次微分方程 。如。如 例:求 的通解分析: 解微分方程是求未知函数y,观察分析此题 ,常见函数中什么函数的 是同 一类函数呢?联想到是ex类型,用待定法设 y=erx ,代入变形为 则只须 ,称此代数方程为微分方 程的特征方程,其根设为特征根。8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程解 解特征方程 得于是微分方程的通解 (可以证明,二阶常系数线性齐次微分方程的两个 特解 ,只要他们不成比例,则 为该方程的通解)例7 求方程 的通解解 特征方程 则通解为重根时,得一个特解 ,再用待定法令 或 等等,求得另一个特解 8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例 求微分方程 的通解 解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 (共轭虚根时,由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而 消去i )8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程于是二阶线性齐次微分方程的特解形式 :特征方程 特征方程 的两个根的两个根 微分方程 的通解微分方程 的通解 (1)(1)两个不相等实根两个不相等实根r r1 1,r ,r2 2(2)两个相等实根r1=r2=r (3)共轭虚根8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程例9:求 的通解分析:这类微分方程叫二阶常系数线性非齐次微分 方程 可以证明: 其通解为“齐次通解+ 非齐特解”。 即可先求 的通解,再求 的特解。解 特征方程齐次通解为 8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程用待定系数法求解(由方程右边的特点) 令 y=ax+b 代入原方程,得 即 解之 所以原方程的通解说明:求非齐次方程的特解时,由f(x)的特点如 指数函数或三角函数等用待定法求解,即类似可解 等等 8-5 数学建模:微分方程应用(2) 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应
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