第九章 概率模型9.1 传送系统的效率9.2 报童的诀窍9.3 随机存贮策略9.4 轧钢中的浪费9.5 随机人口模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩 产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背 景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径9.1 传送系统的效率问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的 ，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q如 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率 的途径： 增加m 习题1当n远大于1时, E n/2m E与n成正比，与m成反比若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)9.2 报童的诀窍问 题报童售报： a (零售价) b(购进价) c(退回价)售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c每天购进多少份可使收入最大？分 析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合 适的购进量等于每天收入的期望建 模 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2准 备求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使a-b 售出一份赚的钱b-c 退回一份赔的钱0rp9.3 随机存贮策略问 题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机； 周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s, S) 存贮策略 制订下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货， 使下周初的库存达到S; 否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订 （s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小模型假设 每次订货费c0, 每件商品购进价c1,每件商品 一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3 (c1c3) 每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r) 周末库存量x, 订货量 u, 周初库存量 x+u 每周贮存量按 x+u-r 计 建模与求解（s, S) 存贮策略确定(s, S), 使目标函数每周总费用的平均值最小平均 费用订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r s 订货点， S 订货值建模与求解1）设 xs, 求 u 使 J(u) 最小，确定S建模与求解SP1P2 0rp2）对库存 x， 确定订货点s若订货u, u+x=S, 总费用为 若不订货, u=0, 总费用为 订货点 s 是的最小正根建模与求解不订货最小正根的图解法J(u)在u+x=S处达到最小xI(x)0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S处达到最小值I(S)I(x)图形建模与求解J(u)与I(x)相似I(S)的最小正根 s9.4 轧钢中的浪费轧制钢材 两道工序 粗轧(热轧) 形成钢材的雏形 精轧(冷轧) 得到钢材规定的长度粗轧钢材长度正态分布均值可以调整方差由设备精度确定粗轧钢材长 度大于规定切掉多余 部分粗轧钢材长 度小于规定整根报废随机因 素影响 精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背 景分析设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的 钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m, 2)切掉多余部 分的概率整根报废 的概率存在最佳的m使总的浪费最小lP0p(概率密度 )mxPmP P建模选择合适的目标函数切掉多余部分 的浪费整根报废 的浪费总浪费 =+粗轧一根钢材平均浪费长度 粗轧N根成品材 PN根成品材长度l PN总长度mN共浪费长度 mN-lPN选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）建模粗轧N根得成品材 PN根求解求 z 使J(z) 最小（已知 ） 求解例设l=2(米), =20(厘米)， 求 m 使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*= -z*=11.78m*= *=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105 F(z)z9.5 随机人口模型背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率 平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率 死亡概率随机性模型对象X(t) 时刻 t 的人口, 随机变量.Pn(t) 概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与n成正比，记bn=n , 出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。进一步假设模型假设建模为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律 ，考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).事件X(t +t)=n的分解X(t)=n-1, t内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡其它(出生或死亡二人， 出生且死亡一人， )概率Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t o(t)一组递推微分方程求解的困难和不必要(t=0时已知人口为n0)转而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k求解比较：确定性指数增长模型X(t)的方差E(t)-(t)- = r D(t)E(t)+(t)Et0n0, D(t)X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) 均方差）r 增长概率r 平均增长率