信息论基础试卷信息论基础参考答案一、填空题（共15 分，每空1 分）1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为3 2logbit/符号。4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S) ） 。5、当 R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。8、若连续信源输出信号的平均功率为2，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或22212x fxe时，信源具有最大熵，其值为值21log 2 2e。9、在下面空格中选择填入数学符号“, , , ”或“”（1）当 X和 Y相互独立时， H（XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。（2）12 22HX XHX12333HX X XHX（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)H(X)。二、 （ 6 分）若连续信源输出的幅度被限定在【2,6 】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。1,26 4 0,xfxQ 其它62logfxfx dx相对熵 h x=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大。三、 （ 16 分）已知信源123456 0.20.20.20.20.10.1SssssssP（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6 分）（2）计算平均码长L; （4 分）（3）计算编码信息率R; （2 分）（4）计算编码后信息传输率R; （2 分）（5）计算编码效率。 （2 分）（1）信息论基础试卷01010100111.00.20.20.20.20.10.11S2S3S4S5S6S编码结果为：1234560001100101110111SSSSSS（2）610.420.632.6ii iLP码元 符号（3）bitlogr=2.6RL符号（4）2.53bit0.973 2.6HSR L码元其中，bit0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.12.53HSH符号（5）0.973 logHSHSLrL评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2 ，平均码长最短四、 （10 分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号， 每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8 、1/8 、1/8 、1/2 、 1/8 。如果符号的码元宽度为0.5s。计算：（1）信息传输速率tR 。 （5 分）（ 2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz 的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为6 010WnHz。试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P。 （5 分）解：（1）1 tXRHXHYt信息论基础试卷61111log4log8822 11log8log 2 22 31log2log 222 2log 22bit24100.5tHXbitRbpss（2）66 662410210 log 1 102101226PPPW五、 (16 分) 一个一阶马尔可夫信源，转移概率为1121122221|,|,|1,|033P SSP SSP SSP SS。(1) 画出状态转移图。(4 分) (2) 计算稳态概率。(4 分) (3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4 分) (4) 计算稳态下1H,2H及其对应的剩余度。(4 分) 解： (1) 1S2S131(2)由公式21|iijj jP SP SS P S有21112 12221 1122|31|31ii iii iP SP SSP SP SP SP SP SSP SP SP SP S得1234 14P SP S(3)该马尔可夫信源的极限熵为：信息论基础试卷2211|log|322311loglog433433 110.5781.59924 0.6810.4720.205ijiji ijHP SP SSP SSbitnathart符号符号符号(4)在稳态下：213311logloglog0.8114444ii iP xP xbit符号20.2050.4720.681HHhartnatbit符号符号符号对应的剩余度为1 100.811110.1891111loglog2222H H2 2 00.681110.3191111loglog2222H H六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。1 21 21 21 21 21 21 21 2XY解：信道传输矩阵如下|110022 110022 110022 110022Y XP可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为信息论基础试卷11 1log4,0,02 2log|log|11log 42log22 1Ljiji jCHLp yxp yxbit七、 (16 分)设 X、Y 是两个相互独立的二元随机变量，其取0 或 1 的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY( 一般乘积 )。试计算(1) ,;HXH Z(2) ,;HXYH XZ(3) |,|;HX YH ZX(4) ;,;IX YI X Z; 解： (1) Z 0 1 P(Z) 3/4 1/4 1 1,12 2HXHbit3 1(2),0.8113 4 4HHbit(2) 1 12HXYHXH Ybit 对111 1|11,0,1.5222 2HXZHXHZXHHbit对(3) |1HX YHXbit111 1|1,0,0.5222 2HZXHHbit(4) ,|0IX YH YH Y XH YH Y,|0.81130.50.3113IX ZH ZH ZXbit八、(10 分)设离散无记忆信源的概率空间为12 0.80.2XxxP，通过干扰信道， 信道输出端的接收符号集为12,Yy y，信道传输概率如下图所示。信息论基础试卷5 61 41 63 41x2x1y2y(1) 计算信源X中事件1x包含的自信息量；(2) 计算信源X的信息熵；(3) 计算信道疑义度|HX Y；(4) 计算噪声熵|H Y X；(5) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。解：(1) 1log0.80.3220.09690.223I xbithartnat(2) 0.8,0.20.7220.50.217HXHbitnathart符号符号符号(3)转移概率：x y y1y2x15/6 1/6 x23/4 1/4 联合分布：x y y1y2x12/3 12/15 4/5 x13/20 1/20 1/5 49/60 11/60 1/5 2231,3 15 20 201.4040.9730.423HXYHbitnathart符号符号符号49/ 60,11/ 600.6870.4760.207H YHbitnathart符号符号符号|0.7170.4970.216HX YHXYH Ybitnathart符号符号符号(4) |0.6820.4730.205H Y XHXYHXbitnathart符号符号符号(5) ;|0.005040.003490.00152IX YHXHX Ybitnathart符号符号符号