- 1 -第一章第一章 导数及其应用导数及其应用阶段通关训练阶段通关训练(60(60 分钟分钟 100100 分分) )一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.(2017永安高二检测)曲线 y=x3在点 x=2 处的切线方程是 ( )A.12x-y-16=0B.12x+y-32=0C.4x-y=0D.4x+y-16=0【解析】选 A.由题意,可对函数 y=x3进行求导得 y=3x2,当 x=2 时,y=23=8,y=322=12,所以切线方程为 y-8=12(x-2),即 12x-y-16=0.2.在下面所给图形阴影部分的面积 S 及相应的表达式中,正确的有 ( )- 2 -A. B. C. D.【解析】选 D.应是 S=f(x)-g(x)dx,应是 S=2dx-(2x-8)dx,和正确.【补偿训练】曲线 y=x2+2x 与直线 x=-1,x=1 及 x 轴所围图形的面积为 ( )A.2 B. C. D.【解析】选 A.S=-(x2+2x)dx+(x2+2x)dx=-+= + =2.3.当 x-2,1时,不等式 ax3-x2+4x+30 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.-5,-3B.- 3 -C.-6,-2D.-4,-3【解题指南】讨论 x 的范围利用分离参数法,转化为最值问题.【解析】选 B.当 x(0,1时,得 a-3-4+ ,令 t= ,则 t1,+),a-3t3-4t2+t,令 g(t)=-3t3-4t2+t,t1,+),则 g(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在1,+)上,g(t)0,则函数 y=f(x)-sinx 在-2,2上的零点个数为( )A.2B.4C.5D.8【解析】选 B.因为当 x(0,)且 x时,f(x)0,所以当 x时,f(x)0.y=f(x)-cosx,当 x时,y0,y=f(x)-sinx 为增函数,计算可知:x=0 时,y0;x=时,y0;x-,0)时,y0,故y=f(x)-sinx 在-,上有且只有 2 个零点,根据周期性可知:y=f(x)-sinx 在-2,2有且只有 4 个零点.二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)- 5 -7.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-,+)内单调递减,则实数m=_.【解析】若 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,则 m2-4=0,m=2.若 g(x)=-3x2+4x+m0 恒成立,则 =16+43m0,解得 m- ,故 m=-2.答案:-28.计算定积分(+2x)dx=_.【解析】dx 的几何意义表示单位圆面积的四分之一,所以dx=,2xdx=x2=1,所以原定积=dx+2xdx=+1.答案:+19.(2017永安高二检测)曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P(1,3)处的切线方程是_.【解析】设切线方程为 y-3=k(x-1),因为 f(x)=3x2-1,所以当 x=1 时,f(x)=2,即 k=2,所以 y-3=2(x-1),整理得 2x-y+1=0.答案:2x-y+1=010.(2016全国卷)若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b=_.【解析】y=lnx+2 的切线为:y=x+lnx1+1(设切点横坐标为 x1),y=ln(x+1)的切线为:y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为 x2),- 6 -所以解得 x1= ,x2=- ,所以 b=lnx1+1=1-ln2.答案:1-ln2【补偿训练】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S10=(1+2x)dx,S20=17,则 S30等于 ( )A.15 B.20 C.25 D.30【解析】选 A.S10=(1+2 x)dx=(x+x2)=12,又因为an为等差数列,所以 2(S20-S10)=S10+S30-S20.所以 S30=3(S20-S10)=3(17-12)=15.三、解答题(共 4 小题,共 50 分)11.(12 分)(2017安庆高二检测)求由曲线 xy=1 及直线 x=y,y=3 所围成平面图形的面积.【解析】作出曲线 xy=1,直线 x=y,y=3 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.求交点坐标:由得故 A;由得或(舍去),故 B(1,1);由得故 C(3,3),- 7 -故所求面积 S=S1+S2=dx+(3-x)dx=(3x-lnx)+=4-ln3.12.(12 分)已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0处的切线l1平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0在第三象限.(1)求 P0的坐标.(2)若直线ll1,且l也过切点 P0,求直线l的方程.【解析】(1)由 y=x3+x-2,得 y=3x2+1.由已知令 3x2+1=4,解得 x=1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4.又因为点 P0在第三象限,所以切点 P0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线ll1, l1的斜率为 4,所以直线l的斜率为- .因为l过切点 P0,点 P0的坐标为(-1,-4),所以直线l的方程为 y+4=- (x+1),即 x+4y+17=0.13.(13 分)在区间0,1上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定点 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1与 S2之和最小.【解析】S1面积等于边长为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 y=x2与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积,即S1=tt2-x2dx= t3.S2的面积等于曲线 y=x2与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积减去矩形面积.- 8 -矩形边长分别为 t2,(1-t),即 S2=x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ .所以阴影部分的面积 S 为 S=S1+S2= t3-t2+ (0t1).因为 S(t)=4t2-2t=4t=0,得 t=0,t= .当 t= 时,S 最小,所以最小值为 S= .14.(13 分)已知函数 f(x)=- ax2+(1+a)x-lnx(aR).(1)当 a0 时,求函数 f(x)的单调递减区间.(2)当 a=0 时,设函数 g(x)=xf(x),若存在区间m,n,使得函数 g(x)在m,n上的值域为k(m+2)-2,k(n+2)-2,求实数 k 的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-(a0).当 a(0,1)时, 1.由 f(x) 或 01 或 00,所以 g(x)g( )0 在上恒成立.所以 g(x)在上单调递增.由题意,得原问题转化为关于 x 的方程 x2-xlnx=k(x+2)-2 在上有两个不相等的实数根问题.即方程 k=在上有两个不相等的实数根.令函数 h(x)=,x.则 h(x)=.令函数 p(x)=x2+3x-2lnx-4,x.- 10 -则 p(x)=在上恒有 p(x)0.故 p(x)在上单调递增.因为 p(1)=0,所以当 x时,有 p(x)0 即 h(x)0,所以 h(x)在(1,+)单调递增.因为 h( )=+,h(1)=1,h(10)=6h( ),所以 k 的取值范围为.【能力挑战题】(2016全国卷)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论 f(x)的单调性.(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.【解题指南】(1)求导,根据导函数的符号确定,主要根据导函数零点来分类.(2)借助第一问的叙述,通过分类讨论确定 a 的取值范围.【解析】(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设 a0,则当 x(-,1)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.()设 a- ,则 ln(-2a)0;当 x(ln(-2a),1)时,f(x)1,故当 x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当 x(1,ln(-2a)时,f(x)0,则由(1)知,f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b (b-2)+a(b-1)2=a0,所以 f(x)有两个零点.()设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,所以 f(x)只有一个零点.()设 a0,若 a- ,则由(1)知,f(x)在(1,+)上单调递增.又当 x1 时,f(x)0,故 f(x)不存在两个零点;若 a- ,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增,又当 x1 时,f(x)0,故 f(x)不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,+).