- 1 -课后提升训练课后提升训练 三三 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(30(30 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值为 ( )A.B.-C.D.-【解析】选 C.y= =k,所以 x= ,切点坐标为,又切点在曲线 y=lnx 上,所以 ln =1,所以 =e,k= .2.下列命题中正确的是 ( )若 f(x)=cosx,则 f(x)=sinx若 f(x)=0,则 f(x)=1若 f(x)=sinx,则 f(x)=cosx若 f(x)= ,则 f(x)=A.B.C.D.【解析】选 C.当 f(x)=sinx+1 时,f(x)=cosx;当 f(x)=2 时,f(x)=0;若 f(x)= ,则 f(x)=-.3.(2017南宁高二检测)质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s=,则质点在 t=4 时的速度为 ( )A.B.C.D.【解析】选 B.s=.当 t=4 时,s= =.4.若曲线 y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a 等于 ( )- 2 -A.64B.32C.16D.8【解题指南】先根据导数求出切线的斜率,利用点斜式写出切线的方程,再求出切线与两坐标轴的交点,然后根据三角形的面积公式列方程求 a 的值.【解析】选 A.因为 y=-,所以当 x=a 时,y=-,所以在点(a,)处的切线方程为 y-=-(x-a),令 x=0,得 y=,令 y=0,得 x=3a.所以 3a=18,解得 a=64.【补偿训练】函数 y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( )A. e2 B.2e2 C.e2 D.【解析】选 D.因为当 x=2 时,y=e2,所以切线方程为 y-e2=e2(x-2).当 x=0 时,y=-e2,当 y=0 时,x=1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为 |-e2|1=.5.(2017天津高二检测)已知 f(x)=xa,若 f(-1)=-4,则 a 的值为 ( )A.4B.-4C.5D.-5【解析】选 A.求导得 f(x)=axa-1,因为 f(-1)=-4,所以 a(-1)a-1=-4,- 3 -所以 a=4.6.函数 y=2x-x2的图象大致是 ( )【解析】选 A.分别画出函数 f(x)=2x和 g(x)=x2的图象,如图所示,由图可知,f(x)与g(x)有 3 个交点,所以 y=2x-x2=0,有 3 个解,即函数 y=2x-x2的图象与 x 轴有三个交点,故排除 B,C,当 x=-3 时,y=2-3-(-3)20,x20,所以 k1k2-1,所以函数 y=lnx 不具有 T 性质.(3)对于函数 y=ex,y=ex,k1=,k2=,显然均大于 0.所以函数 y=ex不具有 T 性质.(4)对于函数 y=x3,y=3x2,k1=3,k2=3,显然 k1k2-1,所以函数 y=x3不具有 T 性质.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.函数 y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中kN*,若 a1=16,则 a1+a3+a5的值是_.【解题指南】利用导数的几何意义求出切线方程,再求其与 x 轴的交点横坐标.【解析】因为 y=2x,所以过点(ak,)的切线方程为 y-=2ak(x-ak),又该切线与 x 轴的交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列ak是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,所以 a3=4,a5=1,所以 a1+a3+a5=21.答案:21【补偿训练】(2017广州高二检测)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=lnx 在 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 ax-y+3=0 垂直,则实数 a 的值为_.【解析】因为 y=lnx 的导数为 y= ,即有曲线 y=lnx 在 x=e 处的切线斜率为 k= ,由于切线与直线 ax-y+3=0 垂直,则 a =-1,解得 a=-e.答案:-e10.过曲线 y=cosx 上点 P且与过这点的切线垂直的直线方程为_.【解析】因为 y=cosx,所以 y=-sinx,- 5 -曲线在点 P处的切线斜率是-sin=-,所以过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为,所以所求的直线方程为 y- =,即 2x-y-+=0.答案:2x-y-+=0三、解答题11.(10 分)(2017济宁高二检测)已知曲线 y=5,求:(1)这条曲线与直线 y=2x-4 平行的切线方程.(2)过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程.【解析】(1)设切点为(x0,y0),由 y=5,得 y=,所以切线斜率为,因为切线与直线 y=2x-4 平行,所以=2.所以 x0=,所以 y0=.则所求切线方程为 y-=2,即 16x-8y+25=0.(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5上,设切点坐标为 M(t,u),则切线斜率为,- 6 -又切线斜率为,所以=.所以 2t-2=t,又 t0,解得 t=4.所以切点为 M(4,10),斜率为 .所以切线方程为 y-10= (x-4),即 5x-4y+20=0.【补偿训练】设抛物线 y=x2与直线 y=x+a (a 是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处切线分别为l1,l2,求 a 值变化时l1与l2交点的轨迹.【解析】将 y=x+a 代入 y=x2整理得 x2-x-a=0,因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以 =(-1)2+4a0,得 a- .设两交点为(,2),(,2),由 y=x2知 y=2x,则切线l1, l2的方程分别为 y=2x-2,y=2x-2.设两切线交点为(x,y),则 因为 , 是的解,由根与系数的关系,可知 +=1,=-a.代入可得 x= ,y=-a .从而,所求的轨迹方程为直线 x= 上的 y 的部分.【能力挑战题】已知曲线 y=f(x)= .(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程.(2)求曲线过点 Q(1,0)的切线方程.- 7 -(3)求满足斜率为- 的曲线的切线方程.【解析】因为 y= ,所以 y=f(x)=-.(1)显然 P(1,1)是曲线上的点.所以 P 为切点,所求切线斜率为函数 y= 在 P(1,1)点的导数.即 k=f(1)=-1.所以曲线在 P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即为 y=-x+2.(2)显然 Q(1,0)不在曲线 y= 上.则可设过该点的切线的切点为 A,那么该切线斜率为 k=f(a)=.则切线方程为 y- =-(x-a).将 Q(1,0)代入方程得:0- =(1-a).解得 a= ,代回方程整理可得:切线方程为 y=-4x+4.(3)设切点坐标为 B(b, ),则切线斜率为 k=-=- ,解得 b=,那么 B(,),B(-,-).代入点斜式方程得 y-=- (x-)或 y+=- (x+). 整理得切线方程为 y=- x+或 y=- x-.