- 1 -课后提升训练课后提升训练 五五 函数的单调性与导数函数的单调性与导数(45(45 分钟分钟 7070 分分) )一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2017广州高二检测)函数 f(x)= x2-lnx 的单调递减区间为 ( )A.(-1,1B.(0,1C.1,+)D.(0,+)【解析】选 B.由题意知,函数的定义域为(0,+),又由 f(x)=x- 0,解得 00 恒成立,即 f(x)0 在 x(0,2)上恒成立,所以 f(x)在(0,2)上是增函数.3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是 ( )A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx【解析】选 C.A 中,y=-6x,当-10,当 00 对 x(-1,1)恒成立,所以函数 y=sinx 在(-1,1)上是增函数.4.设 f(x),g(x)在(a,b)上可导,且 f(x)g(x),则当 ag(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)【解析】选 C.令 (x)=f(x)-g(x),则 (x)=f(x)-g(x),因为 f(x)g(x),所以 (x)0,即函数 (x)为(a,b)上的增函数.又 ag(x)+f(a).5.(2016全国卷)若函数 f(x)=x- sin2x+asinx 在(-,+)上单调递增,则 a 的取值范围是 ( )A.-1,1B.C.D.【解析】选 C.方法一:用特殊值法:取 a=-1,f(x)=x- sin2x-sinx,f(x)=1- cos2x-cosx,但 f(0)=1- -1=- 0)在(0,3)内不单调,则实数 a 的取值范围是 ( )A.aB.00)在(0,3)内不单调,所以 f(x)在(0,3)内有零点.而 f(x)=ax2-2x 有零点 0, (a0),- 4 -所以 0 .7.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4-x),且当 x2 时,导函数 f(x)满足(x-2)f(x)0.若 20 可得 x2 时 f(x)0,所以 f(x)在(2,+)是增函数.因为 24,234-log2a2,所以 f(4-log2a)2f(1)【解析】选 C.因为(x-1)f(x)0,所以当 x1 时,f(x)0;当 x0(其中f(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有 ( )ff- 5 -f(0)0,且 f(x)cosx+f(x)sinx=f(x)cosx-f(x)(cosx),所以可构造函数 g(x)=,则 g(x)=0,所以 g(x)为偶函数且在上单调递增,所以有 g=g=2f,g=g=f,g=f.由函数单调性可知 gg(0)=f(0),所以正确.答案:二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.已知 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是_.【解析】f(x)=3ax2+6x-1.(1)当 f(x)-3 时,在 R 上存在一个区间,其上有 f(x)0,所以,当 a-3 时,函数 f(x)在 R 上不是减函数.综上,所求 a 的取值范围是(-,-3.答案:(-,-310.(2017江苏高考)已知函数 f(x)=x3-2x+ex-,其中 e 是自然对数的底数,若 f(a-1)+f(2a2)0,则实数 a 的取值范围是_.【解析】因为 f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+20,所以函数 f(x)在 R 上单调递增,f(a-1)+f(2a2)0,f(2a2)-f(a-1)=f(1-a),所以 2a21-a,即 2a2+a-10,解得-1a,故实数 a 的取值范围为.答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)- 7 -11.已知函数f(x)=- x3+x2+3x+a(aR),(1)求函数 f(x)的单调增区间.(2)若函数 f(x)在区间-4,4上的最大值为 26,求a 的值.【解析】(1)f(x)=- x3+x2+3x+a,则 f(x)=-x2+2x+3,令 f(x)0,即-x2+2x+30,解得-1f(3),所以 f(-4)是 f(x)在-4,4上的最大值,所以 a+=26,即 a= .12.(2017天津高二检测)已知函数 f(x)=x3-ax-1.(1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围.(2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得 f(x)=3x2-a.因为 f(x)在(-,+)上是单调增函数,所以 f(x)=3x2-a0 在(-,+)上恒成立,即 a3x2对 x(-,+)恒成立.因为 3x20,所以只需 a0.又 a=0 时,f(x)=3x20,f(x)在实数集 R 上单调递增,所以 a0.(2)假设 f(x)=3x2-a0 在(-1,1)上恒成立,则 a3x2在 x(-1,1)时恒成立.- 8 -因为-10,函数 f(x)单调递增.故当 a=-1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(2)因为 f(x)=lnx-ax+-1,所以 f(x)= -a+=-,x(0,+).令 g(x)=ax2-x+1-a,x(0,+).当 a=0 时,g(x)=-x+1,x(0,+),当 x(0,1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增.当 010,所以当 x(0,1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增;x时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递减.综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当 0a 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.