12 23 3 映映 射射学习目标 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法(重点)；2.了解像与原像的概念；3.了解映射与函数的区别与联系(重、难点)预习教材 P3233 完成下列问题：知识点一 映射的概念1两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB2像与原像的概念在映射f：AB中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：xy【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)在从集合A到集合B的映射中，集合B中的某一个元素b的原像可能不止一个( )(2)集合A中的某一个元素a的像可能不止一个( )(3)集合A中的两个不同元素所对应的像必不相同( )(4)集合B中的两个不同元素的原像可能相同( )提示 根据映射的概念可知：(1)中元素必有唯一确定的像，但在像集中一个像可以有不同的原像，故只有(1)正确答案 (1) (2) (3) (4)知识点二 一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；A中的不同元素的像也不同；B中的每一个元素都有原像【预习评价】1设集合A1,2,3，集合Ba，b，c，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为( )A3 B6 C9 D18解析 A 中有 3 个元素，B 中也有 3 个元素，按定义一一列举可知有 6 个答案 B2设f：xax1 为从集合A到B的映射，若f(2)3，则f(3)_解析 由f(2)3，可知 2a13，a2，2f(3)3a13215答案 5知识点三 函数与映射设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB就叫作A到B的函数即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射【预习评价】1从集合A到集合B的映射f：AB与从集合B到集合A的映射f：BA是不是相同映射？提示 映射f：AB与映射f：BA不是相同映射 2映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？提示 当集合A，B为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射题型一 映射的概念【例 1】 判断下列对应是不是映射？(1)Ax|0x3，By|0y1，f：yx，xA，yB；1 3(2)AN N，BN N*，f：y|x1|，xA，yB；(3)Ax|0x1，By|y1，f：y ，xA，yB；1 x(4)AR R，By|yR R，y0，f：y|x|，xA，yB解 (1)是映射(2)对于A中的元素 1，在f作用下的像是 0，而 0B，故(2)不是映射(3)是映射(4)对于A中的元素 1 和1，在f作用下的像都是 1，所以f是映射规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多【训练 1】 下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )MNR R，f：xy ，xM，yN；MNR R，f：xyx2，xM，yN；M1 xNR R，f：xy，xM，yN；MNR R，f：xyx3，xM，yN1 |x|xA B C D解析 对于，集合M中的元素 0 在N中无元素与之对应，所以不是映射对于3，M中的元素 0 及负实数在N中没有元素与之对应，所以不是映射对于，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以是映射故选 D答案 D题型二 求某一映射中的像或原像【例 2】 设f：AB是A到B的一个映射，其中AB(x，y)|x，yR R，f：(x，y)(xy，xy)(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像解 (1)A中元素(1,2)在B中对应的元素为(12，12)，即A中元素(1,2)的像为(3,1)(2)设A中元素(x，y)与B中元素(1,2)对应，则Error!解得Error!所以B中元素(1,2)的原像为(1 2，3 2)规律方法 求某一映射中的像或原像，要准确地利用对应关系，恰当地列出方程或方程组【训练 2】 设集合A、B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR R，yR R，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f作用下，像(2,1)的原像是( )A(3,1) B(3 2，1 2)C. D(1,3)(3 2，1 2)解析 由Error!得Error!故选 B答案 B典例迁移题型三 映射的个数问题【例 3】 已知Aa，b，c，B1,2则从A到B可以建立多少个不同的映射？解 从A到B可以建立 8 个映射，如下图所示【迁移 1】 (改变问法)本例条件不变，则从B到A的映射有多少个？4解 从B到A可以建立 9 个映射，如图所示 【迁移 2】 (增加条件)本例若增加条件：f(a)f(b)f(c)0.则从A到B的映射有多少个？解 欲使f(a)f(b)f(c)0，需a，b，c中有两个元素对应1，一个元素对应2，共可建立 3 个映射【迁移 3】 (变换条件)本例条件变为设Aa，b，c，B1,0,1，若从A到B的映射f满足：f(a)f(b)f(c)，求这样的映射f的个数解 要确定映射f，只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值，由题可知，f(a)，f(b)，f(c)1,0,1，且满足f(a)f(b)f(c)，列表f(a)f(b)f(c)000101011101011110110由上表可知，所求的映射有 7 个规律方法 (1)如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有nm个，从B到A的映射共有mn个(2)映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的课堂达标1设集合Aa，b，B0,1，则从A到B的映射共有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个解析 列举法.Error!Error!Error!Error!共 4 个5答案 C2下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )解析 在 A、B 选项中，由于集合A中的元素 2 在集合B中没有对应的元素，故构不成映射，在 C 选项中，集合A中的元素 1 在集合B中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项 D 符合映射的定义，故选 D答案 D3设f：AB是从集合A到B的映射，AB(x，y)|xR R，yR R，f：(x，y)(kx，yb)，若B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1)，则k，b的值分别为_解析 由题意得Error!得Error!答案 2,14已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(xy，xy)，则B中元素(4，2)在A中对应的元素为_解析 由题意得Error!解得Error!答案 (1,3)5已知集合Aa，b，集合Bc，d，则由A到B的对应中，映射有几个？解 有四个，如图所示 ：课堂小结1对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达2映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能空着(2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射(3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射63映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广