2017-2018 学年人教 B 版高中数学选修 1-1 导学案- 1 -3.23.2 导数的运算导数的运算课堂导学课堂导学三点剖析三点剖析一、求函数的导数一、求函数的导数【例 1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(x-2)2;(3)y=x-sin2xcos2x;(4)y=3x2+xcosx;(5)y=tanx;(6)y=exlnx;(7)y=lgx-21 x.解析解析：(1)方法一：y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.方法二：y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=(x-2)2=x-4x+4,y=x-(4x)+4=1-42121x=1-221x.(3)y=x-sin2xcos2x=x-21sinx,y=x-(21sinx)=1-21cosx.(4)y=(3x2+xcosx)=6x+cosx-xsinx;(5)y=(xx cossin)=;cos1 cossincos2222xxxx(6)y=xex+exlnx;(7)y=.2 10ln13xx二、求直线方程二、求直线方程【例 2】 2004 全国高考卷，文 19 已知直线l1为曲线y=x2+x-2 在P(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.()求直线l2的方程；()求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.解：()y=2x+1.直线l1的方程为：y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2 上的点B(b,b2+b-2),2017-2018 学年人教 B 版高中数学选修 1-1 导学案- 2 -则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1l2,则有 2b+1=-31,b=-32.所以直线l2的方程为y=-31x-922.()解方程组 .25,61.922 31, 33yxxyxy 所以直线l1和l2的交点坐标为(25,61)l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)、(322，0).所以所求三角形的面积S=.12125|25|325 21温馨提示温馨提示要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.三、利用导数求函数解析式三、利用导数求函数解析式【例 3】 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3 相切，求实数a、b、c的值.思路分析：思路分析：解决问题的关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来.题中涉及三个未知数，题设中有三个独立条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径.解：解：曲线y=ax2+bx+c过P(1，1)点，a+b+c=1.y=2ax+b,yx=2=4a+b.4a+b=1.又曲线过Q(2，-1)点，4a+2b+c=-1.联立解得a=3,b=-11,c=9.温馨提示温馨提示用导数求曲线的切线方程或求曲线方程，常依据的条件是(1)切点既在切线上，又在曲线上；2017-2018 学年人教 B 版高中数学选修 1-1 导学案- 3 -(2)过曲线上某点的切线的斜率，等于曲线的函数解析式在该点的导数.各个击破各个击破类题演练类题演练 1 1求下列函数的导数(1)y=x6 (2)y= 431x(3)y=21 x(4)y=x解解：(1)y=(x6)=6x6-1=6x5;(2)y=;43 43)()1(47143 4343xxx x(3)y=(x-2)=-2x-3;(4)y=(x)=(21 x)=.21 21121xx变式提升变式提升 1 1求下列函数的导数：(1)y=(x+1)(x+2)(x+3) (2)y=11 xx解解：(1)解法一解法一：y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11解法二解法二：y=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.(2)解法一：解法一：y=)11( xx.) 1(2 ) 1() 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1(222xxxxxxxxx2017-2018 学年人教 B 版高中数学选修 1-1 导学案- 4 -解法二：解法二：y=1-12 x,y=(1-12 x)=(-12 x)2) 1() 1(2) 1()2( xxx2) 1(2 x类题演练类题演练 2 2求过曲线y=cosx上点P(3,2)且与过这点的切线垂直的直线方程.解：解：y=cosx,y=-sinx.曲线在点P(3,21)处的切线斜率是.23 3sin|3 xy过点P且与切线垂直的直线的斜率为32.所求的直线方程为y-21=)3(32x,即 2x-3y-. 023 32变式提升变式提升 2 2求曲线y=2x2-1 的斜率等于 4 的切线方程.解：解：设切点为P(x0,y0)，则y=(2x2-1)=4x, 0|xxy=4,即 4x0=4,x0=1当x0=1 时，y0=1,故切点P的坐标为(1，1)所求切线方程为y-1=4(x-1)即 4x-y-3=0.2017-2018 学年人教 B 版高中数学选修 1-1 导学案- 5 -类题演练类题演练 3 3已知y=f(x)是一个一元三次函数，若f(-3)=2,f(3)=6 且f(-3)=f(3)=0，求此函数的解析式.解：解：设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f(x)=3ax2+2bx+c,依题意有： . 4, 1, 0,271. 0627, 027, 63927, 23927. 0)3(. 0)3(, 6)3(, 2)3(dcbacbacbbadcbadcbaffff即f(x)=-271x3+x+4.变式提升变式提升 3 3已知函数f(x)=2x3+ax与 g(x)=bx2+c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式：解析：解析：由已知02022223cba即 048cba又f(x)=6x2+a,g(x)=2bx且f(2)=g(2)622+a=2b2 由的 1648cbaf(x)=2x3-8xg(x)=4x2-16