1观察下面两个试验：(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是 7：00 至 7：10 分之间的任何一个时刻(2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆 200 km2的区域，而主着陆场为方圆 120 km2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的问题 1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？提示：无限个问题 2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？提示：是均等的问题 3：上述两试验属古典概型吗？提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个问题 4：能否求两试验发生的概率？提示：可以求出1几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型2几何概型的计算公式在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)d的测度D的测度2这里要求 D 的测度不为 0，其中“测度”的意义依 D 确定，当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等1在几何概型中， “等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关2判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性例 1 在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长大于AC 的长的概率思路点拨 在 AB 上截取ACAC，结合图形分析适合条件的区域可求概率精解详析 设 ACBCa，则 ABa，2在 AB 上截取 ACAC，于是 P(AMAC)P(AMAC).BCABABACAB2aa2a2 22即 AM 的长大于 AC 的长的概率为.2 22一点通 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中确认边界是问3题的关键1在区间1，3上任取一数，则这个数大于等于 1.5 的概率为_解析：P0.75.31.531答案：0.752已知函数 f(x)log2x，x ，2，在区间 ，2上任取一点 x0，则使 f(x0)0 的概1212率为_解析：欲使 f(x)log2x0，则 x1，而 x0 ，2，12x01，2，从而由几何概型概率公式知所求概率P .2121223答案：23例 2 (湖南高考改编)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ，则 P(A)_思路点拨 可判断为几何概型，利用面积比求其概率精解详析 圆的半径是 1，则正方形的边长是，故正方形 EFGH(区域 d)的面积为(2)22.又圆(区域 D)的面积为 ， 则由几何概型的概率公式，得 P(A).22答案 2一点通 解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形利用图形的几何特征计算相关面积43射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心” ，奥运会的比赛靶面直径为 122 cm, 靶心直径为 12.2 cm，运动员在 70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为_解析：记“射中黄心”为事件 B，由于中靶点随机地落在面积为 1222 cm2的大14圆内，而当中靶点落在面积为 12.22 cm2的黄心内时，事件 B 发生，所以事件 B 发14生的概率 P(B)0.01.14 12.2214 1222答案：0.014如图，平面上一长 12 cm，宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一半径为 1 cm 的圆 O(圆心O 在矩形对角线交点处)把一枚半径为 1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆 O 相碰的概率解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域 d)时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为1.8 10 228020例 3 (12 分)用橡皮泥做成一个直径为 6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率思路点拨 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率精解详析 设“砂粒距离球心不小于 1 cm”为事件 A，球心为 O，砂粒位置为 M，5则事件 A 发生，即 OM1 cm.(3 分)设 R3，r1，则区域 D 的体积为 V R3，(5 分)43区域 d 的体积为 V1 R3 r3.(7 分)4343P(A)1( )31.(10 分)V1VrR1272627故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为.(12 分)2627一点通 如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件 A 所分布的体积其概率的计算P(A).构成事件A的区域体积 试验的全部结果构成的区域体积5一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是_解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件 A，则它位于与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10 的区域飞行时是安全的，故区域 d 为棱长为 10 的正方体，P(A).103303127答案：1276在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 M- ABCD 的体积小于 的概率为_16解析：设 M 到平面 ABCD 的距离为 h，则VM-ABCD S底 ABCDh ，S底 ABCD1，h .131612只要点 M 到平面 ABCD 的距离小于 .12所有满足点 M 到平面 ABCD 的距离小于 的点组成以 ABCD 为底面，高为 h(h )的长1212方体，又正方体棱长为 1.6使棱锥 M-ABCD 的体积小于 的概率 P .1612112答案：12利用几何概型计算事件概率分以下几步：(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的. (2)计算基本事件与事件 A 所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)(3)利用概率公式计算课下能力提升(十七)一、填空题1在区间1，2上随机取一个数 x，则 x0，1的概率为 _解析：1，2的长度为 3，0，1的长度为 1，所以概率是 .13答案：132如图，半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆现将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心 29 cm 的圆环上，圆环的面积为7922277 cm2，故所求概率为.77817781答案：77813.如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为_23解析：由几何概型知， ，故 S阴 22 .S阴S正方形232383答案：834一只蚂蚁在三边边长分别为 3，4，5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为_解析：边长为 3，4，5 三边构成直角三角形，P（311）（411）（511）345 .61212答案：125.如图，在平面直角坐标系中，xOT60，以 O 为端点任作一射线，则射线落在锐角xOT 内的概率是_解析：以 O 为起点作射线，设为 OA，则射线 OA 落在任何位置都是等可能的，落在xOT 内的概率只与xOT 的大小有关，符合几何概型的条件记“射线 OA 落在锐角xOT 内”为事件 A，其几何度量是 60，全体基本事件的度量是 360，由几何概型概8率计算公式，可得 P(A) .6036016答案：16二、解答题6点 A 为周长等于 3 的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，求劣弧的AB长度小于 1 的概率解：如图，圆周上使的长度等于 1 的点 M 有两个，设为 M1，M2，则过 A 的圆弧AM的长度为 2，B 点落在优弧上就能使劣弧的长度小于 1，所以劣弧的长M1AM2M1AM2ABAB度小于 1 的概率为 .237有一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，求点 P 到点 O 距离大于 1 的概率解：区域 D 的体积 V1222，当 P 到点 O 的距离小于 1 时，点 P 落在以O 为球心，1 为半径的半球内，所以满足 P 到 O 距离大于 1 的点 P 所在区域 d 的体积为V1VV半球2 .2343所求的概率为 .V1V238两人约定在 2000 到 2100 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 2000 至 2100 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率解：设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当 xy .23239两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：P .S阴影S单位正方形1（13）21289