2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题第二章第二章 2.3 2.3.2A 级 基础巩固一、选择题1已知直线 l平面 ，则经过 l 且和 垂直的平面( C )导学号 09024521A有 1 个 B有 2 个C有无数个 D不存在解析 经过 l 的平面都与 垂直，而经过 l 的平面有无数个，故选 C2已知 、 是平面，m、n 是直线，给出下列表述：导学号 09024522若 m，m，则 ；若 m，n，m，n，则 ；如果 m，n，m，n 是异面直线，那么 n 与 相交；若 m，nm，且 n，n，则 n 且 n.其中表述正确的个数是( B )A1 B2 C3 D4解析 是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，m，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能 n，所以不正确；中，由于 nm，n，m，则 n，同理 n，所以正确3如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且PAAC，则二面角 PBCA 的大小为( C )导学号 09024523A60 B30C45 D15解析 由条件得：PABC，ACBC 又 PAACC，BC平面 PAC，PCA 为二面角 PBCA 的平面角在 RtPAC 中，由PAAC 得PCA45，故选 C4在棱长都相等的四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( C )导学号 09024524ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABC2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题解析 可画出对应图形，如图所示，则 BCDF，又 DF平面 PDF，BC平面PDF，BC平面 PDF，故 A 成立；由 AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，DF平面 PAE，故 B 成立；又 DF平面 ABC，平面 ABC平面PAE，故 D 成立5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 A1C1上的点，则下列直线中一定与 CE垂直的是( B )导学号 09024525AAC BBD CA1D1 DA1A解析 在正方体中，AA1平面 ABCD，AA1BD.又正方形 ABCD 中，BDAC，且 AA1ACA，BD平面 AA1C1C.EA1C1，E平面 AA1C1C，CE平面 AA1C1C，BDCE.二、填空题6在三棱锥 PABC 中，已知 PAPB，PBPC，PCPA，如右图所示，则在三棱锥 PABC 的四个面中，互相垂直的面有_3_对.导学号 09024526解析 PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面 PBC，PA平面 PAB，PA平面 PAC，平面 PAB平面 PBC，平面 PAC平面 PBC.同理可证：平面 PAB平面 PAC.7已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC，BC2，则二面角32017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题DBCA 的大小为_90_.导学号 09024527解析 如图，由题意知 ABACBDCD，BCAD2.3取 BC 的中点 E，连接 DE、AE，则 AEBC，DEBC，所以DEA 为所求二面角的平面角易得 AEDE，又 AD2，2所以DEA90.三、解答题8.如图所示，ABC 为正三角形，CE平面 ABC，BDCE，且 CEAC2BD，M是 AE 的中点.导学号 09024528(1)求证：DEDA；(2)求证：平面 BDM平面 ECA；解析 (1)取 EC 的中点 F，连接 DF.CE平面 ABC，CEBC.易知 DFBC，CEDF.BDCE，BD平面 ABC.在 RtEFD 和 RtDBA 中，EF CEDB，DFBCAB，12RtEFDRtDBA.故 DEDA.(2)取 AC 的中点 N，连接 MN、BN，则 MN 綊 CF.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题BD 綊 CF，MN 綊 BD，N平面 BDM.EC平面 ABC，ECBN.又ACBN，ECACC，BN平面 ECA.又BN平面 BDM，平面 BDM平面 ECA.9如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱PDa，PAPCa，2导学号 09024529(1)求证：PD平面 ABCD；(2)求证：平面 PAC平面 PBD；(3)求二面角 PACD 的正切值解析 (1)PDa，DCa，PCa，2PC2PD2DC2，PDDC.同理可证 PDAD，又 ADDCD，PD平面 ABCD.(2)由(1)知 PD平面 ABCD，PDAC，而四边形 ABCD 是正方形，ACBD，又 BDPDD，AC平面 PDB.同时，AC平面 PAC，平面 PAC平面 PBD.(3)设 ACBDO，连接 PO.由 PAPC，知 POAC.又由 DOAC，故POD 为二面角 PACD 的平面角易知 ODa.222017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题在 RtPDO 中，tanPOD.PDODa22a2B 级 素养提升一、选择题1设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中，正确的是( B )导学号 09024530A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直解析 由题意，m 与 斜交，令其在 内的射影为 m，则在 内可作无数条与m垂直的直线，它们都与 m 垂直，A 错；如图示(1)，在 外，可作与 内直线 l 平行的直线，C 错；如图(2)，m，.可作 的平行平面 ，则 m 且 ，D 错2把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则ABC 是( A )导学号 09024531A正三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析 设正方形边长为 1，AC 与 BD 相交于 O，则折成直二面角后，ABBC1，AC1，则ABC 是正三角形CO2AO22222223在二面角 l 中，A，AB平面 于 B，BC平面 于 C，若AB6，BC3，则二面角 l 的平面角的大小为( D )导学号 09024532A30 B60C30或 150 D60或 120解析 如图，AB，ABl，BC，2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题BCl，l平面 ABC，设平面 ABClD，则ADB 为二面角 l 的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为 60或 120.4如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( A )导学号 09024533AAHEFH 所在平面 BAGEFH 所在平面CHFAEF 所在平面 DHGAEF 所在平面解析 由平面图得：AHHE，AHHF，AH平面 HEF，选 A二、填空题5在三棱锥 PABC 中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角3PABC 的大小为_60_.导学号 09024534解析 取 AB 中点 M，连接 PM，MC，则 PMAB，CMAB，PMC 就是二面角 PABC 的平面角在PAB 中，PM1，22 322017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题同理 MC1，则PMC 是等边三角形，PMC60.6.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD.底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_BMPC(其他合理即可)_时，平面 MBD平面 PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)导学号 09024535解析 四边形 ABCD 的边长相等，四边形为菱形ACBD，又PA平面 ABCD，PABD，BD平面 PAC，BDPC.若 PC平面 BMD，则 PC 垂直于平面 BMD 中两条相交直线当 BMPC 时，PC平面 BDM.平面 PCD平面 BDM.C 级 能力拔高1(2015湖南)如下图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E、F分别是 BC、CC1的中点.导学号 09024536(1)证明：平面 AEF平面 B1BCC1；(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45，求三棱锥 FAEC 的体积解析 (1)如图，因为三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 AEBB1，又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AEBC，因此 AE平面 B1BCC1，而 AE平面 AEF，所以平面 AEF平面 B1BCC1.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题(2)设 AB 的中点为 D，连接 A1D，CD，因为ABC 是正三角形，所以 CDAB，又三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CDAA1，因此 CD平面 A1AB1B，于是CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角，由题设知CA1D45，所以 A1DCDAB，323在 RtAA1D 中，AA1，A1D2AD2312所以 FC AA1，1222故三棱锥 FAEC 的体积 V SAECFC .131332226122如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA.3 导学号 09024537(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABEP 的大小解析 (1)证明：如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知，BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD，又 ABCD，所以 BEAB，又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以 PABE.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题而 PAABA，因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.(2)由(1)知，BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又 ABBE，所以PBA是二面角 ABEP 的平面角在 RtPAB 中，tanPBA，PBA60.PAAB3故二面角 ABEP 的大小是 60.