2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题第一章第一章 1.3 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题1如果三个球的半径之比是 123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( B )导学号 09024188A 倍 B 倍 C2 倍 D3 倍5995解析 设小球半径为 1，则大球的表面积 S大36，S小S中20， .3620952若两球的体积之和是 12，经过两球球心的截面圆周长之和为 6，则两球的半径之差为( A )导学号 09024189A1 B2 C3 D4解析 设两球的半径分别为 R、r(Rr)，则由题意得Error!，解得Error!.故 Rr1.3一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( 导学号 09024190A )A BC D662223 2解析 由 6a24R2得 ，3.aR23V1V2a343R334(23)664球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( C )导学号 09024191A B C D342解析 设正方体的棱长为 a，球半径为 R，则 3a24R2，a2 R2，43球的表面积 S14R2，正方体的表面积 S26a26 R28R2，S1S2 .4325正方体的内切球与其外接球的体积之比为( C )导学号 09024192A1 B13C13 D1933解析 设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为 a，它的外接球的半径为a，1232故所求体积之比为 13.36若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为 r、R，则球的表面积为2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题( C )导学号 09024193A4(rR)2 B4r2R2C4Rr D(Rr)2解析 解法一：如图，设球的半径为 r1，则在 RtCDE 中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得 4r (Rr)2(Rr)2，解得 r1.故球2 1Rr的表面积为 D球4r 4Rr.2 1解法二：如图，设球心为 O，球的半径为 r1，连接 OA、OB，则在 RtAOB 中，OF是斜边 AB 上的高由相似三角形的性质得 OF2BFAFRr，即 r Rr，故 r1，故2 1Rr球的表面积为 S球4Rr.二、填空题7(2017天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_.92导学号 09024194解析 设正方体的棱长为 a，则 6a218，a.3设球的半径为 R，则由题意知 2R3，a2a2a2R .32故球的体积 V R3 ( )3.434332928已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为_.36导学号 09024195解析 设球 O 的半径为 r，则 r323，43解得 r.36三、解答题9体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是 S1、S2、S3，试比较它们的大小.导学号 09024196解析 设正方体的棱长为 a，球的半径为 R，等边圆柱的底面半径为 r，则S16a2，S24R2，S36r2.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题由题意知， R3a3r22r，43Ra，ra，334312S2424a2a2，(334a)39162336S3626a2a2，(312a)3142354S23a2a2，即 S1S3.32354S1、S2、S3的大小关系是 S2S3S1.10某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积.导学号 09024197解析 该组合体的表面积 S4r22rl41221310.该组合体的体积 V r3r2l 13123.4343133B 级 素养提升一、选择题1用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( B )导学号 09024198解析 选项 D 为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选 B2若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm2，则此球的体积为( A )导学号 09024199A cm3 B cm3C cm3 D cm36684366解析 设球的半径为 R，正方体的棱长为 a，6a26，a1.2R1，R .122017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题球的体积 V R3 ( )3 .43431263一个球与一个上、下底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( D )323导学号 09024200A96 B16 C24 D483333解析 由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为 a，球半径为 r，由 V球 r3解 r2.S底 a ar3，得 a2r4，所以 V柱S4332312a2a241233底2r48.34已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( 导学号 09024201C )A BC D2312431626162312解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，V ( 11)1()3 ，故选 C13124322121626二、填空题5一个半径为 2 的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_16_.导学号 090242022017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题解析 该几何体是从一个球体中挖去 个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积14为 (422)216.34 2226圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_4_cm.导学号 09024203解析 设球的半径为 r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为 r26r6r3，高度为 8 cm 的水的体积为 8r2,3 个球的体积和为 3 r34r3，由题意得 6r38r24r3，解得43r4(cm)C 级 能力拔高1盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？导学号 09024204解析 设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V球2( )3(cm3)，43521253此体积即等于它们的容器中排开水的体积V52h，所以52h，1253所以 h ，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.53532已知四面体的各面都是棱长为 a 的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径.导学号 09024205解析 如图，设 SO1是四面体 SABC 的高，则外接球的球心 O 在 SO1上2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 试题设外接球半径为 R.四面体的棱长为 a，O1为正ABC 中心，AO1 aa，233233SO1SA2AO2 1a，a213a263在 RtOO1A 中，R2AO OO AO (SO1R)2，2 12 12 1即 R2(a)2(aR)2，解得 Ra，336364所求外接球体积 V球 R3a3.4368OO1即为内切球的半径，OO1aaa，6364612内切球的半径为a.612