2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案1课题4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程修改与创新教学目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.教学重、难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.教学准备多媒体课件教学过程导入新课导入新课同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课推进新课新知探究新知探究提出问题提出问题已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆？图 1 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案2图 1我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：讨论结果：根据两点之间的距离公式,得2 212 21)()(yyxx|AB|=,212)59()62(22|CD|=.22)8()3(yx平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为r(其中 a、b、r 都是常数,r0).设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件=r.22)()(byax将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程,反之若点 M的坐标满足方程,这就说明点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C的圆上.方程就是圆心为 C(a,b),半径长为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案3(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.提出问题提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：讨论结果：圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2中,有三个参数 a、b、r,只要求出 a、b、r 且 r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为：1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2；2根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组；3解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：当点 M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.当点 M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外;2点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内.应用示例应用示例例 1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是 3；2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案4圆心在点 C(3,4),半径是;5(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3)；(4)圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切.解解: :(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即 x2+y2=9.(2)由于圆心在点 C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径 r=|CP|=5,因此所求圆25)31 ()85(22的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点 P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以 r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25|16|25|7123|.25256点评：点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.5解解: :圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点 M1(5,-7),M2(-,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,5则 M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.点评点评: :本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案5例 3 ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.另外可利用直线 AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一解法一: :设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程 (x-a)2+(y-b)2=r2,于是)3(.)8()2()2()3()7() 1 (,)1 ()5(222222222rbarbarba解此方程组得所以ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. . 5, 3, 2rba解法二解法二: :线段 AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+1=(x-6). 21同理线段 AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为 3,所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得 x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径 r=5,所以ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.22)31 ()25(点评点评: :ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心,它是ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.变式训练变式训练一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案6解法一：解法一：因为圆心在直线 y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因为点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上,所以解得,)23()1 (,)20()0(222222raaraa .825,412ra所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.41 47 825解法二：解法二：由题意：圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为(,),21 23所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y-=-(x-),即 x+3y-5=0.23 31 21因为圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,所以由解得,即圆心坐标为 C(-,). , 053, 2 yxxy ,47,41yx41 47又因为圆的半径 r=|OC|=,825)47()41(22所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.41 47 825点评点评: :(1)圆的标准方程中有 a、b、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例 3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为 22.解解: :(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线 y=1-x 相切于点(2,-1),所以,解得 a=1.所以所求圆心坐标2222) 12()2( 11|12| aaaa为(1,-2),半径 r=.所以所求圆的标准方程为22) 12()21 (2(x-1)2+(y+2)2=2.2017-2018 学年高一数学人教 A 版必修 2 教案7(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r0),由题意知圆心到直线 y=x-1 的距离为 d=.又直线 y=x-1 被圆截得弦长为 2,所以由 2211|112|22弦长公式得 r2-d2=2,即 r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评点评: :本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法