1一平行线等分线段定理对应学生用书 P11平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)用符号语言表述：已知 abc，直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A、B、C 和 A、B、C(如图)，如果 ABBC，那么ABBC.说明(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等2平行线等分线段定理的推论文字语言图形语言符号语言推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边在ABC 中，若ABBB，BC平行于 BC 交 AC 于点C，则 ACCC推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰在梯形 ABCD 中，ADBC，若AEEB，EF 平行于 BC交 DC 于 F 点，则DFFC对应学生用书 P1平行线等分线段定理例 1 已知如图，直线 l1l2l3l4，l，l分别交2l1，l2，l3，l4于 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，ABBCCD.求证：A1B1B1C1C1D1.思路点拨 直接利用平行线等分线段定理即可证明 直线 l1l2l3，且 ABBC，A1B1B1C1.直线 l2l3l4且 BCCD，B1C1C1D1，A1B1B1C1C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明1已知：如图，l1l2l3，那么下列结论中错误的是( )A由 ABBC 可得 FGGHB由 ABBC 可得 OBOGC由 CE2CD 可得 CA2BCD由 GH FH 可得 CDDE12解析：OB、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段答案：B2如图，已知线段 AB，求作线段 AB 的五等分点作法：如图，(1)作射线 AC；(2)在射线 AC 上依任意长顺次截取 ADDEEFFGGH；(3)连接 HB；(4)过点 G，F，E，D 分别作 HB 的平行线GA1，FA2，EA3，DA4，分别交 AB 于点 A1，A2，A3，A4.则 A1，A2，A3，A4就是所求的五等分点证明：过点 A 作 MNHB，则 MNDA4EA3FA2GA1HB.又 ADDEEFFGGH，AA4A4A3A3A2A2A1A1B(平行线等分线段定理)3平行线等分线段定理推论 1 的运用例 2 如图，在ABC 中，AD，BF 为中线，AD，BF 交于 G，CEFB 交 AD 的延长线于 E.求证：AG2DE.思路点拨 AFFC， GF ECAGGE BDG CDEAG2DE证明 在AEC 中，AFFC，GFEC，AGGE.CEFB，GBDECD，BGDE.又 BDDC，BDGCDE.故 DGDE，即 GE2DE，因此 AG2DE.此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论 1 的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果3.如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，OE 平行于 AB 交 BC 于E，AD6，求 BE 的长解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 OAOC，BCAD.又因为 ABDC，OEAB，所以 DCOEAB.又因为 AD6，4所以 BEEC BC AD3.12124已知：AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F.求证：AF AC.13证明：如图，过 D 作 DGBF 交 AC 于 G.在BCF 中，D 是 BC 的中点，DGBF，G 为 CF 的中点即 CGGF.在ADG 中，E 是 AD 的中点，EFDG，F 是 AG 的中点即 AFFG.AF AC.13平行线等分线段定理推论 2 的运用例 3 已知，如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，M 是CD 的中点，求证： AMBM.思路点拨 解答本题应先通过作辅助线构造推论 2 的应用条件证明 过点 M 作 MEBC 交 AB 于点 E，ADBC，ADEMBC.又M 是 CD 的中点，E 是 AB 的中点ABC90，ME 垂直平分 AB.AMBM.有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何证明或计算5若将本例中“M 是 CD 的中点”与“AMBM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明解：结论成立证明如下：5过点 M 作 MEAB 于点 E，ADBC，ABC90，ADAB，BCAB.MEAB，MEBCAD.AMBM，且 MEAB，E 为 AB 的中点，M 为 CD 的中点6已知：如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，过点 A，B，C，D，O 分别作直线 a 的垂线，垂足分别为 A，B，C，D，O；求证：ADBC.证明：ABCD 的对角线 AC，BD 交于 O 点，OAOC，OBOD.AAa，OOa，CCa，AAOOCC.OAOC.同理：ODOB.ADBC.对应学生用书 P3一、选择题1梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别是 AD，BC 的中点，且 EF2 cm，则ABCD 等于( )A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm解析：由梯形中位线定理知 EF (ABCD)，12ABCD4 cm.答案：D2如图，AD 是ABC 的高，E 为 AB 的中点，EFBC 于 F，如果 DC BD，那么 FC 是 BF 的( )13A. 倍 B. 倍53436C. 倍 D. 倍3223解析：EFBC，ADBC，EFAD.又 E 为 AB 的中点，由推论 1 知 F 为 BD 的中点，即 BFFD.又 DC BD，DC BF.1323FCFDDCBFDC BF.53答案：A3梯形的中位线长为 15 cm，一条对角线把中位线分成 32 两段，那么梯形的两底长分别为( )A12 cm 18 cm B20 cm 10 cmC14 cm 16 cm D6 cm 9 cm解析：如图，设 MPPN23，则 MP6 cm，PN9 cm.MN 为梯形 ABCD 的中位线，在BAD 中，MP 为其中位线，AD2MP12 cm.同理可得 BC2PN18 cm.答案：A4梯形的一腰长 10 cm，该腰和底边所形成的角为 30，中位线长为 12 cm，则此梯形的面积为( )A30 cm2 B40 cm2C50 cm2 D60 cm2解析：如图，过 A 作 AEBC，在 RtABE 中，AEABsin 305 cm.又已知梯形的中位线长为 12 cm，ADBC21224(cm)梯形的面积 S (ADBC)AE12 52460 (cm2)12答案：D二、填空题5如图所示，已知 abc，直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点A、B、C 和 A、B、C，如果 ABBC1，AB ，则327BC_.解析：直接利用平行线等分线段定理答案：326.如图，在ABC 中，E 是 AB 的中点，EFBD，EGAC 交 BD 于 G，CD AD，12若 EG2 cm，则 AC_；若 BD10 cm，则 EF_.解析：由 E 是 AB 的中点，EFBD，得 EG ADFD2 cm，12结合 CD AD，12可以得到 F、D 是 AC 的三等分点，则 AC3EG6(cm)由 EFBD，得 EF BD5(cm)12答案：6 cm 5 cm7如图，梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 AB 的中点，EFBC，G 是 BC 边上任一点，如果 SGEF2 cm2，那么梯形2ABCD 的面积是_cm2.解析：因为 E 为 AB 的中点，EFBC，所以 EF 为梯形 ABCD 的中位线，所以 EF (ADBC)，12且EGF 的高是梯形 ABCD 高的一半，所以 S梯形 ABCD4SEGF4228(cm2)2答案：82三、解答题8已知ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 BC 的三等分点(BECE)，AE、CD 交于点 F.求证：F 是 CD 的中点证明：如图，过 D 作 DGAE 交 BC 于 G，8在ABE 中，ADBD，DGAE，BGGE.E 是 BC 的三等分点，BGGEEC.在CDG 中，GECE，DGEF，DFCF.即 F 是 CD 的中点9如图，先把矩形纸片 ABCD 对折后展开，并设折痕为 MN；再把点 B 叠在折痕线上，得到 RtAB1E.沿着 EB1线折叠，得到EAF.求证：EAF 是等边三角形证明：因为 ADMNBC，AMBM，所以 B1EB1F.又因为AB1EB90，所以 AEAF，所以B1AEB1AF.根据折叠，得BAEB1AE，所以BAEB1AEB1AF30，所以EAF60，所以EAF 是等边三角形10.已知：梯形 ABCD 中，ADBC，四边形 ABDE 是平行四边形，AD 的延长线交 EC 于 F.求证：EFFC.证明：法一：如图，连接 BE 交 AF 于 O，四边形 ABDE 是平行四边形，BOOE.又AFBC，EFFC.法二：如图，延长 ED 交 BC 于点 H，四边形 ABDE 是平行四边形，ABED，ABDH，ABED.又AFBC，四边形 ABHD 是平行四边形9ABDH.EDDH.EFFC.法三：如图，延长 EA 交 CB 的延长线于 M，四边形 ABDE 是平行四边形，BDEA，AEBD.又 ADBC.四边形 AMBD 是平行四边形AMBD.AMAE.EFFC.