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2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案2.2.22.2.2 等差数列的前等差数列的前 N N 项和项和课堂探究课堂探究一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析:剖析:(1)当等差数列an有偶数项时,设项数为 2n,设S偶a2a4a6a2n,S奇a1a3a5a2n1,得S偶S奇nd,得S偶S奇S2n,得 S偶 S奇n 2(a2a2n) n 2(a1a2n1)2an1 2anan1 an (2)当等差数列an有奇数项时,设项数为 2n1,设S奇a1a3a5a2n1,S偶a2a4a6a2n,得S奇S偶a1ndan1,得S偶S奇S2n1(2n1)an+1,得 S奇 S偶n1 2(a1a2n1)n 2(a2a2n)(n1)an1 nan1n1 n 综上,等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质:(1)项数为 2n时,S偶S奇nd,S偶S奇S2n,S偶 S奇an1 an(2)项数为 2n1 时,S奇S偶a1ndan+1,S偶S奇S2n+1(2n1)an+1,S奇 S偶(n1)an1 nan1n1 n 熟练运用这些性质,可以提高解题速度知识链接:知识链接:除了上述性质外,与前n项和有关的性质还有:等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2kSk,S3kS2k,组成公差为k2d的等差数列若Sn为数列an的前n项和,则an为等差数列等价于是等差数列Sn n若an,bn都为等差数列,Sn,Sn为它们的前n项和,则am bmS2m1 S2m1二、教材中的二、教材中的“?”如果仅利用通项公式,能求出使得Sn最小的序号n的值吗?2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案剖析:剖析:如果仅利用通项公式,也可求出最小序号n的值因为该数列的通项公式为an4n32,其各项为28,24,4,0,4,可以看出,所有负数或非正数的项相加其和最小时,n的值为 7 或 8三、教材中的三、教材中的“思考与讨论思考与讨论”1 1如果已知数列an的前n项和Sn的公式,那么这个数列确定了吗?如果确定了,那么如何求它的通项公式?应注意一些什么问题?剖析:剖析:确定了,由公式an11,1,2,nnS nSSn 来求解,求解时注意要分类讨论,然后对n1 的情况进行验证,能写成统一的形式就将a1合进来,否则保留分段函数形式2 2如果一个数列的前n项和的公式是Snan2bnc(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?剖析:剖析:等差数列前n项和公式变形为Snn2n当d0 时,是关于n的二次函d 2数,如果一个数列的前n项和公式是Snan2bnc(a,b,c为常数),那么这个数列的通项公式是an,1, 2,2.abc n anab n 只有当c0 时,a1abc才满足an2anab因此,当数列的前n项和公式为Snan2bn时,所确定的数列才是等差数列,这时,等差数列的公差d2a题型一题型一 等差数列的前等差数列的前n n项和公式的直接应用项和公式的直接应用【例例 1】1】 在等差数列an中,(1)已知a1030,a2050,Sn242,求n;(2)已知S824,S1284,求a1和d;(3)已知a620,S510,求a8和S8;(4)已知a163,求S31分析:分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量解:解:(1)由101201930,1950.aadaad 得112,2.ad Sn242,12n2242n(n1) 2解得n11 或n22(舍去)n112017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案(2)由8112182824,126684SadSad 得14,2.ad a14,d2(3)由6151520,51010aadSad 得110,6.ad a8a62d32,S8888(a1a8) 2(4)S3131a163193a1a31 2反思:反思:在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质题型二题型二 S Sn n与与a an n的关系问题的关系问题【例例 2】2】 (2013广东高考,文 19 改编)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足 4Sna2n14n1,nN N,且a23(1)证明:a2;4a15(2)求数列an的通项公式分析:分析:(1)对条件中的等式赋值n1 即可;(2)由anSnSn1(n2)这一关系得出数列中项之间的关系即可(1)证明:证明:当n1 时,4a12 2a5,2 2a4a15an0,a24a15(2)解:解:当n2 时,4Sn12 na4(n1)1,4Sn2 1na4n1,由,得 4an4Sn4Sn12 1na2 na4,2 1na2 na4an4(an2)2an0,an+1an2,当n2 时,an是公差d2 的等差数列a2,a5,a14构成等比数列,2 5aa2a14,(a26)2a2(a224),解得a23由(1)可知,4a12 2a54,a11a2a1312,an是首项a11,公差d2 的等差数列2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案数列an的通项公式为an2n1反思:反思:利用an11,1,2nnS nSSn 求an时,切记验证n1 时的情形是否符合n2 时an的表达式题型三题型三 等差数列前等差数列前n n项和性质的应用项和性质的应用【例例 3】3】 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,求这个数列的中间项及项数分析:分析:已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系解:解:设等差数列an共有(2n1)项,则奇数项有(n1)项,偶数项有n项,中间项是第(n1)项,即an+1 ,得n3S奇 S偶1 2(a1a2n1) (n1) 1 2(a2a2n) n(n1)an1 nan1n1 n44 334 32n17又S奇(n1)an+144,an+111故这个数列的中间项为 11,共有 7 项反思:反思:在等差数列an中,(1)若项数为 2n1(nN N+),则,其中S奇S奇 S偶n1 n(n1)an+1,S偶nan+1;(2)若数列项数为 2n(nN N),则S偶S奇nd题型四题型四 等差数列前等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题【例例 4】4】 在等差数列an中,a125,S17S9,求Sn的最大值分析:分析:本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an0,an10 或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项解:解:解法一:由S17S9,得2517(171)d259 (91)d,17 29 2解得d2,Sn25n (n1)(2)(n13)2169,n 2由二次函数的性质得当n13 时,Sn有最大值 169解法二:先求出d2(解法一)a1250,2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案由1252(1)0,2520nnanan 得当n13 时,Sn有最大值 169解法三:先求出d2(同解法一)由S17S9,得a10a11a170,而a10a17a11a16a12a15a13a14,故a13a140d20,a10,a130,a140故n13 时,Sn有最大值 169解法四:先求出d2(同解法一)得Sn的图象如图所示,由S17S9知图象的对称轴n13,917 2当n13 时,Sn取得最大值 169反思:反思:本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题,方法迥异,殊途同归解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有:(1)二次函数法:由于Snn2n是关于n的二次式,因此可用二次函数的d 2最值来确定Sn的最值,但要注意这里的nN N+(2)图象法:可利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小)(3)通项法:由于SnSn1an,所以当an0 时,SnSn1;当an0 时,SnSn1,因此当a10 且d0 时,使an0 的最大的n的值,使Sn最大;当a10,d0 时,满足an0 的最大的n的值,使Sn最小题型五题型五 易错辨析易错辨析【例例 5】5】 若数列an的前n项和为Sn3n22n1,求数列an的通项公式,并判断它是否为等差数列错解:错解:anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5,2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案an1an6(n1)5(6n5)6(常数)数列an是等差数列错因分析:错因分析:错解忽略了anSnSn1成立的条件“n2” 正解:正解:当n2 时,anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5当n1 时,a1S12,an2,1,652.nnn 数列an不是等差数列【例例 6】6】 已知两个等差数列an与bn,它们的前n项和的比,求Sn Snn3 n1a10 b10错解:错解:设Snk(n3),Snk(n1),则1a10 b10S10S9 S10S9k(103)k(93) k(101)k(91)错因分析:错因分析:错解由于错误地设出了Snk(n3),Snk(n1),从而导致结论错误正解正解 1 1:利用等差数列的性质,得a10 b1019 2(a1a19)19 2(b1b19)S19 S19193 19111 10正解正解 2 2:设Snkn(n3),Snkn(n1),所以a10 b10S10S9 S10S9k10(103)k9(93) k10(101)k9(91)11 10
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