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2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案12.3.12.3.1 等比数列等比数列1理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列 2掌握等比数列的通项公式及性质,能够用它解决有关等比数列的问题 3了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的定义 如果一个数列从_起,每一项与它的前一项的比都等于_,那么这个数 列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_,公比通常用字母_表示定 义表达式为_(1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此q也不能为 0. (2)对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,应防止把相邻两项的比的次序弄 颠倒 (3)“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项” ,同时注意如果一个数列不是从第 2 项 起,而是从第 3 项或第 4 项起每一项与前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列, 这时可以说此数列从第 2 项起或第 3 项起是等比数列 (4)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但 却是不同的常数,这时此数列不是等比数列 【做一做 1】下列数列中,等比数列的个数是_ 1,2,4,8;1,3,3;1,1,1,1;a,a,a,a.332等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则通项公式为_其中,a1,q均 不为 0.等比数列的通项公式ana1qn1的另外一种形式为anamqnm. 【做一做 2】在等比数列an中,a18,a464,则公比q为( ) A2 B3 C4 D8 3等比中项 如果a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中 项,即_等比数列中,除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等 比中项,即a an1an1,反过来,如果a,b同号,G或,即G2ab,那么G2nabab是a,b的等比中项(1)x,G,y成等比数列等价于“G2xy”(x,y均不为 0),可以用它来判断或证明三 数成等比数列,要注意“x,G,y成等比数列”与“G”是不等价的,而应与“Gxy”等价xy(2)当x,y同号时,x,y的等比中项有两个,异号时没有等比中项 (3)在任意两个非零实数x和y之间,也可以插入n个数使之成为等比数列但要注意: 在实数范围内,当xy0 时,x,y之间可以插入任意个数;当xy0 时,在x和y之间只2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2能插入偶数个数使之成为等比数列 【做一做 3】若 2,x,2成等比数列,则x的值是( )33A1 B1 C1 D2一、解读等比数列的主要性质 剖析:在等比数列问题的解答中,运用基本量转化是最基本的方法,但如果灵活运用 性质,可使求解的过程更简捷,所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质等比数列有 以下性质: (1)两个等比数列的积仍为等比数列 (2)在等比数列an中,若mnpq,则amanapaq. (3)数列an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之 积 (4)在等比数列an中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比 数列,公比为qk1. (5)当数列an是各项都为正数的等比数列时,数列lg an是公差为 lg q的等差数 列 (6)当m,n,p(m,n,pN N)成等差数列时,am,an,ap成等比数列 (7)等比数列an中,若公比为q,则数列an仍是公比为q的等比数列;若bn是公比为q的等比数列,则数列anbn是公比为qq的等比数列;数列是公比为1 an的等比数列;|an|是公比为|q|的等比数列1 q二、求数列通项公式的方法 剖析:1.如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据等差(或等比)数列的通项公 式,求得a1,d(或q),直接套用公式即可 2若已知数列的前n项和求通项时,通常用公式anError!用此公式时我们应当注意 结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二为一” ,即a1和 an(n2)合为一个表达式 3对于形如an1anf(n)型或形如an1f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列 或等比数列,可以根据递推公式,写出n取 1 到n时的所有的递推关系式,然后将它们分 别相加(或相乘)即可得到通项公式 4有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变形,构造出一个等差 数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式,这叫做构造法例如:在数列an中,a11,a22,an2an1an,我们在上式的两边减去an1,得2 31 3an2an1 (an1an),即可构造一个等比数列来解决问题1 3当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽可能将已知数列转 化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项 三、教材中的“?” 1为什么q0?等比数列中的项有可能等于 0 吗? 剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为 0,除数也不可能为 0,故 q0,在等比数列中,各项都不会为 0.2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案32等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推导等比数列的通项公 式? 剖析:等比数列的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项公 式,然后利用迭乘的方法证明得ana1qn1. 3你能通过公比q的不同取值的讨论,对等比数列进行分类吗? 剖析:当a10,q1 或a10,0q1 时,数列an为递增数列; 当a10,0q1 或a10,q1 时,数列an为递减数列; 当q1 时,数列an为常数列; 当q0 时,数列an为摆动数列 四、教材中的“思考与讨论” 对于例 3 中的数列,你是否发现a5,a10,a15,a20恰好成等比数列?你能说出其中的 道理吗?你能由此推导出一个一般性的结论吗? 剖析:在已知数列中,每隔k项取一项,保持原来顺序依次排列,所得数列还是一个 等比数列题型一 等比数列定义的应用 【例 1】已知数列的通项公式为an32n,试问:这个数列是否为等比数列? 分析:可用定义法、等比中项法证明 反思:已知某数列的通项公式,判定其是否为等比数列,可依据等比数列的定义证明常用的判定等比数列的方法有:(1)定义法:q(常数);(2)等比中项法:an1 anaanan2(an0)2n1题型二 等比数列的通项公式的应用 【例 2】在等比数列an中, (1)a42,a78,求an; (2)a2a518,a3a69,an1,求n. 分析:先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,再表示其他量 反思:a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来,解 法一是常规解法,先求a1,q,再求an,解法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求 a1和q,这也是常见的解法 题型三 等比数列性质的应用 【例 3】已知数列an为等比数列,若a1a2a37,a1a2a38,求数列an的通项 公式 分析:本题主要考查等比数列的性质“若pq2n,则apaqa(p,q,nN N)”2n的应用反思:若三个数成等比数列,则可设为 ,a,aq,当然也可设为a,aq,aq2.若四个a q数成等比数列,则可设为a,aq,aq2,aq3,但不能设为,aq,aq3,因为这个数列的a q3a q公比为q2,漏掉了公比为负值的情况 题型四 构造等比数列求通项公式 【例 4】(1)在数列an中,a11,an12an1,求通项公式an.2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4(2)在数列an中,a12,an1,求通项公式an.2an an1(3)在数列an中,a13,an1a,求通项公式an.2n分析:对所给递推关系进行适当的变形,构造辅助数列使问题转化为熟悉的问题构 造等比数列的方法一般有:配常数、取倒数、取对数等 反思:有些数列本身并不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、 等比数列因此解决这类问题应该熟悉能构造成等差、等比数列的形式,以及对应方法 题型五 易错辨析 【例 5】在等比数列an中,若a3a4a6a781,则a1a9的值为( ) A3 B9 C3 D9 错解:an为等比数列,a3a7a4a6a1a9. (a1a9)281.a1a99.故选 D. 错因分析:忽视了在等比数列中,奇数项(或偶数项)符号相同这一条件【例 6】已知一个等比数列的前四项之积为,第 2 项与第 3 项的和为,求这个等1 162比数列的公比错解:依题意,设这四个数为,aq,aq3,a q3a q则Error!Error!由得a ,1 2代入并整理, 得q22q10,2解得q1 或q1,22原等比数列的公比为q232或q232.22错因分析:从表面上看,这种解法正确无误,但认真审查整个解题过程,由于设这四个数为,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同为正,要么同为a q3a q负,而题设中无此规定1 给出下列命题:(1)若,则a,b,c成等比数列(abc0);(2)若a bb cb2ac,则a,b,c成等比数列;(3)若an1anq(q为常数),则an是等比数列其中正 确的命题有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2 在等比数列an中,a32,a78,则a5( ) A4 B4 C6 D4 3 在等比数列an中,公比为q,若amxan,则x等于( ) Aq Bqnm Cqmn D12017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案54 在等比数列an中,a3 ,a5 ,则a10_.4 38 35 在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插 入的两个数是_ 答案:答案: 基础知识基础知识梳理梳理1第 2 项 同一个常数 公比 q(q0) q(n2)an an1 【做一做 1】3 若常数列的各项不为零,那么它也是等比数列,所以是等比数列; 是首项为1,公比为 2 的等比数列;是首项为 1,公比为的等比数列;中a的3 值没确定,当a0 时,这四个数不能构成等比数列 2ana1qn1 【做一做 2】A 由等比数列的通项公式,有a4a1q3,即 648q3,所以q2. 3G2ab 【做一做 3】C 由题意,得x2(2)(2)1,x1.33 典型例题典型例题领悟领悟【例 1】解:解:解法一:2(常数),an1 an3 2n1 3 2n an是等比数列 解法二:an132n1,an232n2, anan232n32n2922n2a,2n1 an是等比数列 【例 2】解:解:(1)解法一:因为Error! 所以Error!Error!由,得q34,从而q,
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