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2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案13.1.23.1.2 不等式的性质不等式的性质1掌握不等式的性质 2能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较,解不等式(组)和不等式证明不等式的性质 (1)对称性:ab_. (2)传递性:ab,bc_. (3)加法法则:ab_. 推论 1 abca_; 推论 2 ab,cdac_. (4)乘法法则:ab,c0_;ab,c0_. 推论 1 ab0,cd0_; 推论 2 ab0anbn(nN N,n1); 推论 3 ab0(nN N,n1)nanb在不等式的基本性质中,乘法法则的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除以)一 个数时,必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定 【做一做 1】已知ab,则下列各式中正确的个数是( ) acbc;acbc;(ab)c0. A0 B1 C2 D3 【做一做 2】已知ab,cd,e0,则ace_bde(填“”或“”)【做一做 3】已知ab0,c0,则 _ (填“”或“”)c ac b一、不等式的性质的应用误区 剖析:使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们 成立的条件,盲目套用,例如: (1)ab,cdacbd,已知的两个不等式必须是同向不等式; (2)ab0,且cd0acbd,已知的两个不等式不仅要求同向,而且不等式的 两边必须为正值; (3)ab0anbn(nN N,n1)及ab0(nN N,n1),成立的条件是nanb已知不等式的两边为正值,并且nN N,n1,否则结论就不成立假设去掉b0 这个条 件,取a3,b4,n2,就会出现 32(4)2的错误结论;又若去掉了“nN N,n1”这个条件,取a3,b2,n1,又会出现 3121,即 的错误1 31 2结论 对于性质 4 的推论 2 和推论 3,在n取正奇数时,可放宽条件,命题仍成立,即有: abanbn(n2k1,kN N),ab(n2k1,kN N)nanb2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2(1)性质中的a和b可以是实数,也可以是代数式 (2)性质 3 是不等式移项法则的基础 (3)性质 3 的推论 2 是同向不等式相加法则的依据(4)若ab且ab0,则 .若ab,且ab0,则 ,即“同号取倒数,方向改1 a1 b1 a1 b变,异号取倒数,方向不变” (5)若ab,cd,则acbd.(6)若ab0,cd0,则 .a db c二、教材中的“?” 在解一元一次不等式 3x25x1 的过程中,应用了不等式的哪些性质? 剖析:不等式的解运用性质3x25x12x3移项:性质 3 的推论 12x3同乘1:性质 4x3 2同乘 :性质 41 2题型一 判断真假 【例 1】下列命题中,一定正确的是( )A若ab,且 ,则a0,b01 a1 bB若ab,b0,则 1a bC若ab,且acbd,则cd D若ab,且acbd,则cd 反思:运用不等式的性质进行数的大小的判断时,要注意不等式性质成立的条件,不 能弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质,解有关不等式的选择题时,也可采用特 殊值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单, 便于验证计算 题型二 应用不等式的性质证明不等式【例 2】已知a,b为正实数,求证:.abbaab分析:针对题目特点,可考虑两种方法:一种是直接进行作差比较,按步骤进行,变 形这一步最为关键,不管用何种方法变形,一定要向有利于判定差的符号的方向进行,另 一种是先平方,再根据两式特点变形比较大小 反思:比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法,其步骤为:作差(或n次方作差) 变形确定符号得出结论其中,作差是依据,变形是手段,确定差的符号是目 的,证题的思路体现了数学中的转化思想这里,关键的步骤是对差式的变形 题型三 不等式性质的实际应用2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3【例 3】建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积但按采光标准,窗 户面积与地板面积的比值应不小于 10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好试问: 同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理 由分析:可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,根据题意知ab且 10%,a b然后设同时增加的面积为m,得到ambm,用比较法判断与 的大小即可am bma b反思:一般地,设a,b为正实数,且ab,m0,则 .利用这个不等式,可am bma b以解释很多现象,比如b克糖水中有a克糖(ba0),若再添上m克糖(m0 且未达到饱 和状态),则糖水变甜了再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是 因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比 0.618,从而带给观众更美的享受 题型四 易错辨析【例 4】已知,求 2的取值范围 2 2错解:,2. 2 2又,. 2 2 2 22.3 23 2错因分析:2的取值范围可看做()的取值范围,因为忽视了不等式 自身的隐含条件0 而导致扩大了取值范围1ab可以推出( )A Bac2bc21 a1 bC D(ac)2(bc)2a c2b c22 若 0,则下列结论不正确的是( )1 a1 bAa2b2 Babb2C 2 D|a|b|ab|b aa b3 已知a0,1b0,则下列不等式成立的是( ) Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a 4 已知abc,且abc0,则b24ac的值的符号为_ 5 实数a,b,c,d满足三个条件:dc,abcd,adbc,则将 a,b,c,d按照从大到小的次序排列为_ 答案:答案:2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4基础知识基础知识梳理梳理 (1)ba (2)ac (3)acbc cb bd (4)acbc acbc acbd 【做一做 1】A 【做一做 2】 【做一做 3】 典型例题典型例题领悟领悟【例 1】A 对选项 A, ,0.1 a1 bba ab 又ab,ba0,ab0,a0,b0;对选项 B,当a0,b0 时,有 1,故 B 错;a b 对选项 C,当a10,b2,c1,d3 时,虽然 10123,但 13,故 C 错; 对选项 D,当a1,b2,c1,d3 时, 有(1)(1)(2)3,但13,故 D 错【例 2】证明:证法一:()()()()abbaababbbaaabbbaa.(ab)(r(a)r(b)ab(r(a)r(b)(r(a)r(b)2ab 因为a,b为正实数,所以0,0,()20.ababab于是有0.当且仅当ab时,等号成立(r(a)r(b)(r(a)r(b)2ab所以,当且仅当ab时,等号成立abbaab证法二:因为()22,()2ab2,所以()abbaa2 bb2 aababababba2()22(ab2),因为aba2 bb2 aababa3b3ab(ab) ab(ab)(ab)2 aba,b为正实数,所以0,所以()2()2.又因为0,(ab)(ab)2 ababbaababba0,所以,当且仅当ab时,等号成立ababbaab 【例 3】解:解:变好了理由:设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m,根据问题的要求可知ab且 10%.a b由于 0,am bma bm(ba) b(bm)于是 .又 10%,am bma ba b因此 10%.am bma b 所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了【例 4】正解:正解:, 2 2 2 2. 2 2 . 又,0, 0,2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案52 . 23 2 随堂练习随堂练习巩固巩固 1B c20,ab,ac2bc2. 2D 可取特殊值,令a1,b2 代入验证知选项 D 不正确 3D 本题可以根据不等式的性质来解,由于1b0,所以 0b21.所以 aab20,且ab0,易得答案 D.本题也可以根据a,b的取值范围取特殊值,比如令a1,b ,也容易得到正确答案1 2 4正 abc0, b(ac), b2a2c22ac. b24aca2c22ac(ac)2. ac,(ac)20. b24ac0,即b24ac的符号为正 5bdca 由可得,dbca;由可得,cabd,于是有 dbbd,acca,db,ac.再由dc可得:bdca.
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