121离散型随机变量及其分布列21.1 离散型随机变量对应学生用书P19问题 1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果这种试验结果能用数字表示吗？提示：可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上问题 2：在一块地里种 10 棵树苗，设成活的树苗棵树为 X，则 X 取什么数字？提示：X0,1,2,3，10.1随机变量的概念及其表示(1)定义：随着试验结果的不同而变化的变量称为随机变量(2)表示：常用字母 X，Y等表示2离散型随机变量如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量1对随机变量的认识：(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源2离散型随机变量的特征：(1)可用数值表示；(2)试验之前可以判断其出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出对应学生用书P192离散型随机变量的判定例 1 判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数；(2)从 10 张已编好号码的卡片(从 1 号到 10 号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(3)某林场的树木最高达 30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为 27 cm3的正方体的棱长思路点拨 根据随机变量、离散型随机变量的定义判断精解详析 (1)接到的咨询电话的个数可能是 0,1,2,3，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30内的一切值 ，无法一一列出，不是离散型随机变量(4)体积为 27 cm3的正方体的棱长为 3 cm，为定值，不是随机变量一点通 判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是1如果 X 是一个离散型随机变量且 YaXb，其中 a，b 是常数且 a0，那么 Y( )A不一定是随机变量B一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C可能是定值D一定是离散型随机变量解析：若 X 是离散型随机变量，根据函数的性质，则 Y 必是离散型随机变量答案：D210 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是( )A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的概率3解析：A 中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B、D 也是一个定值而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量答案：C离散型随机变量的可能值及实验结果例 2 (12 分)写出下列随机变量的可能值，并说明随机变量的取值表示的事件(1)在含有 5 件次品的 200 件产品中任意抽取 4 件，其中次品件数 X 是一个随机变量(2)一袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 Y 是一个随机变量思路点拨 先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量的取值表示的事件精解详析 (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.X0，表示“抽取 0 件次品” ；X1，表示“抽取 1 件次品” ；X2，表示“抽取 2 件次品” ；X3，表示“抽取 3 件次品” ；X4，表示“抽取 4 件次品” ；(2)随机变量 Y 的可能取值为 0,1,2,3.Y0，表示“取出 0 个白球，3 个黑球” ；Y1，表示“取出 1 个白球，2 个黑球” ；Y2，表示“取出 2 个白球，1 个黑球” ；Y3，表示“取出 3 个白球，0 个黑球” 一点通 解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些实验结果3抛掷两颗骰子，设所得点数之和为 X，那么 X4 表示的随机试验结果是_解析：抛掷一颗骰子，可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6，而 X 表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，所以 X4133122 表示的随机试验结果是一颗是 1 点、另一颗是 3 点，或者两颗都是 2 点答案：一颗是 1 点、另一颗是 3 点，或者两颗都是 2 点4一袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6.现从中随机取出 2 个球，以 X表示取出的球的最大号码，则“X6”表示的试验结果是_4答案：(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)5盒中有 9 个正品和 3 个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为 X.(1)写出 X 的所有可能取值；(2)写出 X1 所表示的事件；(3)求 X1 的概率解：(1)X 可能取的值为 0,1,2,3.(2)X1 表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品(3)P(X1).3 912 119441随机变量可将随机试验的结果数量化2随机变量与函数的异同点：随机变量函数相同点都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域不同点把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数3.离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出对应课时跟踪训练九1下列变量中，不是随机变量的是( )A一射击手射击一次命中的环数B标准状态下，水沸腾时的温度C抛掷两颗骰子，所得点数之和D某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数解析：B 中水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量答案：B2袋中装有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量 X，则 X 所有可能取值的个数是( )A5 B9C10 D255解析：两个球的号码之和可为 2,3,4,5,6,7,8,9,10，共 9 个答案：B3某电话亭内的一部电话 1 小时内使用的次数记为 X；某人射击 2 次，击中目标的环数之和记为 X；测量一批电阻，阻值在 9501 200 之间；一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为 X.其中是离散型随机变量的是( )A BC D解析：中变量 X 所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量答案：A4某人进行射击，共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X，则“X5”表示的试验结果是( )A第 5 次击中目标 B第 5 次未击中目标C前 4 次未击中目标 D第 4 次击中目标解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X5，则说明前 4 次均未击中目标，故选 C.答案：C5从标有 110 的 10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X，那么随机变量 X 可能取得的值有_个解析：X 可能的取值为 3,4,5,6,7,8,9，19，共有 17 个答案：176一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于 5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为 X，则随机变量 X 的可能取值共有_个解析：后三个数字两两不同且都大于 5 的电话号码共有 A 24 种，故 X 的取值为3 41,2,3，24.答案：247小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功每过一关可一次性获得价值分别为 1 000 元，3 000 元，6 000 元的奖品(不重复设奖)，用 X 表示小王所获奖品的价值，写出 X 的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果解：X 的可能取值为 0,1 000,3 000,6 000.6X0，表示第一关就没有通过；X1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；X3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；X6 000，表示三关都通过8写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果(1)一个人要开房门，他共有 10 把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为 X；(2)在一个盒子中，放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x，y，记 X|x2|yx|.解：(1)X 可能取值为 1,2,3，10.Xn 表示第 n 次能打开房门(2)因为 x，y 可能取的值为 1,2,3，所以 0|x2|1,0|xy|2，所以 0X3，所以 X 可能的取值为 0,1,2,3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为 x，第二次抽得号码为 y，则随机变量 X 取各值的意义为：X0 表示两次抽到卡片编号都是 2，即(2,2)；X1 表示(1,1)(2,1)(2,3)(3,3)；X2 表示(1,2)(3,2)；X3 表示(1,3)(3,1)