2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案1_1.2圆周角与弦切角12.1 圆 的 切 线对应学生用书 P15 读教材填要点1直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点2圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线3圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论 1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等推论 2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角4三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆小问题大思维1下列关于切线的说法中，正确的有哪些？与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线提示：由切线的定义及性质可知，只有正确2圆的切线的判定方法有哪些？2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案2提示：圆的切线的判定方法有：(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)判定定理：过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线对应学生用书 P16 切线的判定例 1 如图所示，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD.求证：DC 是O 的切线思路点拨 本题考查圆的切线的判定方法解决本题只要证明ODCD 即可精解详析 如图，连接 OD.OCAD，31，42.ODOA，12，43.ODOB，OCOC，DOCBOC.CDOCBO.AB 是直径，BC 是切线，CBO90，CDO90.DC 是O 的切线证明某条直线是圆的切线，有以下规律：(1)若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直” ；(2)若直线与圆的公共点没确定，应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径” 1如图所示，在ABC 中，已知 ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点D，DEAC 于点 E.求证：DE 是O 的切线2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案3证明：连接 OD 和 AD，如图所示AB 是O 的直径，ADBC.又ABAC，BDCD.AOOB，ODAC.DEAC，DEOD，DE 是O 的切线切线的性质及判定定理的应用例 2 如图，OA 和 OB 是O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任意一点，BP 的延长线交O 于 Q，过 Q 作O 的切线交 OA 的延长线于 R，求证：PQR 为等腰三角形思路点拨 本题考查切线的性质的应用解答本题需要证明PQR 中的两个角相等，因为 QR 为切线，故可考虑连接 OQ，得到垂直关系，然后再证明精解详析 连接 OQ.因为 QR 是O 的切线，所以 OQQR.因为 OBOQ，所以BOQB.因为 BOOA，所以BPO90BRPQ，PQR90OQP.所以RPQPQR.所以 RPRQ，所以 PQR 为等腰三角形(1)圆的切线的性质定理及它的两个推论，概括起来讲就是三点：经过圆心；切线2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案4长相等；平分切线的夹角(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得垂直关系2.如图，AB 是O 直径，弦 CDAB，连接 AD，并延长交O 过 B 点的切线于 E 点，作 EGAC 交 AC 的延长线于 G 点求证：ACCG.证明：如图，连接 BC 交 AE 于 F 点ABCD，13.又23，12，即 AFBF.AB 为O 的直径，BE 为O 的切线，Error!，45，即 FEBF.由得 AFFE.又 AB 为O 的直径，BCAG.又 EGAG，BCEG.由得 ACCG.例 3 某海域直径为 30 海里的暗礁区中心有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向 45 海里的 B 处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但是轮船没有收到这一信号，直到又继续前进了 15 海里到达 C 处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号(1)若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航向改变角度至少为东偏北多少度(2)当轮船收到第二次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度？思路点拨 (1)根据题意转化为 B 作暗礁区域圆的切线问题(2)与(1)问思路一致，在 C 处作暗礁区域圆的切线求解精解详析 (1)如图所示，圆心 A 为暗礁区中心的哨所位置，A 的半径为 15 海里过点 B 作A 的切线，D 是切点，连接 DA.由切线的性质定理，知ADB90.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案5在 RtABD 中，sinABD .ADAB154513sin 20 ，ABD20.13当轮船第一次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏北 20.(2)过点 C 作A 的切线，E 为切点，连接 AE.由切线的性质定理，知AEC90.在 RtACE 中，AC451530，sinACE ，ACE30.AEAC153012当轮船第二次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏南 30.解决实际问题要善于抓住问题的特征动切线的特殊位置，分析切线的变化规律，从“变”中找出“不变” ，使问题简单化3如图，AD 是O 的直径，BC 切O 于点 D，AB、AC 与圆相交于点 E、F.则AEAB 与 AFAC 有何关系？请给予证明解：AEABAFAC.证明如下：连接 DE.AD 为O 的直径，DEA90.又BC 与O 相切于点 D，ADBC，即ADB90.由射影定理知，AD2ABAE.同理 AD2AFAC.AEABAFAC.对应学生用书 P17 一、选择题1AB 是O 的切线，在下列给出的条件中，能判定 ABCD 的是( )AAB 与O 相切于直线 CD 上的点 CBCD 经过圆心 O2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案6CCD 是直径DAB 与O 相切于 C，CD 过圆心 O解析：圆的切线垂直于过切点的半径或直径答案：D2如图所示，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 交O 于D，AB6，BC8，则 BD( )A4 B4.8C5.2 D6解析：BC 是O 的切线，ABC 是直角三角形AC 10.AB2BC2AB 是直径，ACBD.AB2ADAC，AD.AB2AC3610185CD10.185325BD2CDAD，BD4.8.185325245答案：B3如图所示，EB 是半圆O 的直径，A 是 BE 延长线上一点，ACBC 于 C，且 AC是半圆的切线，切点为 D，连接 OD，若 AC12，BC9，则 OD 的长为( )A5 B458C6 D42017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案7解析：AC12，BC9，AB15.AC2BC2AC 为半圆的切线，ODAC.又ACBC，ODBC.，ODBCAOABOD915OD15OD.458答案：B4已知O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于P，PC5，则O 的半径是( )A. B5 335 36C10 D5解析：如图，连接 OC，则 OCPC，PACOCA30COP60，在 RtPCO 中，PC5，则 OC.PCtanCOP535 33答案：A二、填空题5.如图，在 RtABC 中，C90，AC15 cm，AB25 cm，以C 点为圆心，12 cm 为半径的圆和 AB 的位置关系是_解析：过点 C 作 CDAB，AC15 cm，AB25 cm，BC20 cm.CD12(cm)15 2025半径为 12 cm 的C 与 AB 相切答案：相切2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案86如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC6 cm，BD8 cm，以A 为圆心，r 为半径的圆与 BC 相切，则 r 为_ cm.解析：AC6 cm，BD8 cm，OB4 cm，OC3 cm.BC5 cm.OC2OB2SABC ACBO 6412 cm2，1212又SABC BCAE 5r，121212.r cm.5r2245答案：2457如图，是两个滑轮工作的示意图，已知O1，O2的半径分别为 4 cm,2 cm，圆心距为 10 cm，AB 是O1，O2的公切线，切点分别为 A，B，则公切线 AB 的长为_ cm.解析：如图所示分别连接 O1A，O2B.设 AB 与 O1O2交于 C，则有BCO2ACO1，即 .AO1BO2O1CO2C42O1C10O1C解得 O1C.O2C10.203203103ABO1C2O1A2O2C2O2B2 400916100948.答案：88如图，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D，若 ABBC2 cm，则 CE_，CD_.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案9解析：BC 是O 切线，AB 为直径，ABD90.AB2.OB1.又BC2，OC.又OE1，415CE(1) cm.5连接 BE.不难证明CEDCBE，.CECDCBCECE2CBCD.(1)22CD.5CD(3) cm.5答案：(1) cm (3) cm55三、解答题9.如图，已知 AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BDOB，点 C 在圆上，CAB30，求证：DC 是O 的切线证明：连接 OC、BC，AB 是O 的直径，ACB90.CAB30，BC ABBO，12又BDBO，BCBOBD.则OCD 是直角三角形OCCD，OC 是O 的半径DC 是O 的切线10.如图，已知两个同心圆 O，大圆的直径 AB 交小圆于 C、D，大圆的弦 EF 切小圆于 C，ED 交小圆于 G，若小圆的半径为2，EF4，试求 EG 的长3解：连接 GC，则 GCED.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-1 教学案10EF 和小