2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案12抛_物_线21 抛物线及其标准方程对应学生用书P49抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链 AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题 1：曲线上点 D 到直线 EF 的距离是什么？提示：线段 DA 的长问题 2：曲线上点 D 到定点 C 的距离是什么？提示：线段 DC 的长问题 3：曲线上的点到直线 EF 和定点 C 之间的距离有何关系？提示：相等抛物线的定义定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点 F准线定直线 l抛物线的标准方程已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l 上)，且定点到 l 的距离为 6，曲线上的点到定点距离与到定直线 l 的距离相等在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)；l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3.问题 1：到定点 A 和定直线 l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案2向提示：y212x. 向右问题 2：到定点 B 和定直线 l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：y212x. 向左问题 3：到定点 C 和定直线 l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x212y. 向上问题 4：到定点 D 和定直线 l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x212y. 向下抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p2，0)xp2y22px(p0)(p2，0)xp2x22py(p0)(0，p2)yp2x22py(p0)(0，p2)yp21平面内与一定点 F 和一定直线 l 距离相等的点的集合是抛物线，定点 F 不在定直线上，否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的直线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上对应学生用书P50求抛物线的焦点坐标和准线方程例 1 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)y x2；(2)xay2(a0)14思路点拨 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p.再写出焦点坐2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案3标和准线方程精解详析 (1)抛物线 y x2的标准形式为 x24y，14p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是 y1.抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为 y2 x，1a2p.1|a|当 a0 时， ，抛物线开口向右，p214a焦点坐标是，准线方程是 x；(14a，0)14a当 a0(14a，0)14a时，开口向右；a0)或 x22p2y(p20)，过点(3,2)，42p1(3)或 92p22.p1 或 p2 .2394故所求的抛物线方程为 y2 x 或 x2 y.4392(2)令 x0 得 y2，令 y0 得 x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时， 4，p2p8，此时抛物线方程 y216x；当焦点为(0，2)时， |2|，p2p4，此时抛物线方程为 x28y.故所求的抛物线的方程为 y216x 或 x28y.(3)由题意知，抛物线标准方程为 x22py(p0)或 x22py(p0)且 p3，抛物线标准方程为 x26y 或 x26y.一点通 求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离 p，写出方程(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2ax(a0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2ay(a0)3(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则拋物线的方程是( )Ay28x By28x2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案5Cy24x Dy24x解析：由准线方程 x2，可知拋物线为焦点在 x 轴正半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为 y22px8x.答案：B4抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上一点(5,2)到焦点的距离是 6，5则抛物线的方程是_解析：因为点(5,2)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口5向左，设其方程为 y22px，把(5,2)代入得 p2，故所求方程为 y24x.5答案：y24x5已知焦点在 x 轴上，且抛物线上横坐标为 3 的点 A 到焦点的距离为 5，求抛物线的标准方程解：由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，其准线为 x .p2A 到焦点的距离为 5，A 到准线的距离也是 5，即 35，解得 p4.(p2)故所求的抛物线标准方程为 y28x.抛物线标准方程的实际应用例 3 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由思路点拨 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断精解详析 建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)，当 x3 时，y3，即点(3，3)在抛物线上代入得 2p3，故抛物线方程为 x23y.已知集装箱的宽为 3 m，当 x 时，y ，而桥高为 5 m，3234所以 5 4 4.3414故卡车可通过此隧道2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案6一点通 1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得方程的形式更为简单，便于计算6某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶 6 m 时，水面宽 10 m，抛物线的方程可能是( )Ax2y Bx2y2562512Cx2y Dx2y3652524解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为 x22py(p0)，则P(5，6)在抛物线上252p(6)，p.2512抛物线方程为 x2y.256答案：A7某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点 P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为 x225y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为(2，yB)，代入 x225y，得 yB.425|AB|43.84，即最长支柱的长为 3.84 米4251确定抛物线的标准方程，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案7形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y22mx(m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x22my(m0)2求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论对应课时跟踪训练十六1抛物线 y x2的焦点坐标是( )18A(0，4) B(0，2)C( ，0) D(，0)12132解析：抛物线方程可化成 x28y，所以焦点坐标为(0，2)，故选 B.答案：B2若抛物线 y22px 的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则 p 的值为( )x26y22A4 B2C6 D8解析：a26，b22，c2a2b24，c2.椭圆的右焦点为(2,0)， 2，p4.p2答案：A3抛物线 yax2的准线方程是 y2，则 a 的值为( )A. B1818C8 D8解析：由 yax2，得 x2 y，2，a .1a14a18答案：B4若动圆与圆(x2)2y21 外切，又与直线 x10 相切，则动圆圆心的轨迹方程2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案8是( )Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：设动圆的半径为 r，圆心 O(x，y)，且 O到点(2,0)的距离为 r1，O到直线 x1 的距离为 r，所以 O到(2,0)的距离与到直线 x2 的距离相等，由抛物线的定义知 y28x.答案：A5抛物线 y22px 过点 M(2,2)，则点 M 到抛物线准线的距离为_解析：因为 y22px 过点 M(2,2)，于是 p1，所以点 M 到抛物线准线的距离为2 .p252答案：526已知点 P(6，y)在抛物线 y22px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于 8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于_解析：抛物线 y22px(p0)的准线为 x ，因为 P(6，y)为抛物线上的点，所以 Pp2到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以 p4，故焦点 F 到抛物线准线p2的距离等于 4.答案：47由条件解下列各题的标准方程及准线方程(1)求焦点在直线 2xy50 上的抛物线的标准方程及其准线方程(2)已知抛物线方程为 2x25y0，求其焦点和准线方程(3)已知抛物线方程为 ymx2(m0)，求其焦点坐标及准线方程解：(1)直线 2xy50 与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线(52，0)方程分别为 y210x，x220y.其对应准线方程分别是 x ，y5.52(2)抛物线方程即为 x2 y，焦点为，准线方程：y .52(0，58)58(3)抛物线方程即为 x2 y(m0)，焦点为，准线方程 y.1m(0，14m)14m8.如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-1 同步配套教学案94，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为B，OB 的中点为 M.(1)求抛物线方程；(2)过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标解：(1)抛物线 y22px 的准线为 x ，p2于是，4 5，p2.p2所以抛物线方程为 y24x.(2)因为点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)，M(0,2)又 F(1,0)，所以 kAF .43因为 MNFA，所以 kMN .34则 FA 的方程