2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案14数学归纳法对应学生用书P10在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题 2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数 n 有关的数学问题数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：n1 时，命题成立；(2)在假设当 nk(k1)时命题成立的前提下，推出当 nk1 时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数 n 都成立1数学归纳法仅适用于与正整数 n 有关的数学命题的证明2应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明 nk1 命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法对应学生用书P11用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明：1 (nN)12131412n112n1n11n212n2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案2思路点拨 运用数学归纳法由 nk 到 nk1，等式左边增加了两项结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可精解详析 (1)当 n1 时，左边1 ，1212右边 .11112左边右边，等式成立(2)假设当 nk(k1)时等式成立，即1 12131412k112k，1k11k212k则当 nk1 时，(112131412k112k) (12k112k2)(1k11k212k) (12k112k2)1k21k312k112k2.1k111k121k1k12k1即当 nk1 时，等式也成立综合(1)和(2)可知，对一切正整数 n 等式都成立一点通 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 nk到 nk1 时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中 nN)证明：(1)当 n1 时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当 nk(kN)时等式成立，即 1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当 nk1 时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当 nk1 时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何 nN都成立2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案32用数学归纳法证明：当 nN时，132333n3.n2n124证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立12 224(2)假设当 nk(kN)时，等式成立，即132333k3.k2k124那么，当 nk1 时，有132333k3(k1)3(k1)3k2k124(k1)2(k24k1)(k1)2k24k44k12k224.k12k1124即当 nk1 时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对任何 nN等式都成立.用数学归纳法证明不等式例 2 求证： (n2，nN)1n11n213n56思路点拨 在由 nk 到 nk1 的推证过程中可考虑使用“放缩法” ，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一精解详析 (1)当 n2 时，左边 ，不等式成立1314151656(2)假设当 nk(k2，kN)时不等式成立，即 ，1k11k213k56则当 nk1 时，2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案41k111k1213k13k113k213k1Error!1k11k213kError! ，56(13k113k213k31k1)56(3 13k31k1)56所以当 nk1 时不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2，nN均成立一点通 对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口3数列an满足 a11 且 an1an(n1，且 nN)，用数学归纳法证(11n2n)12n明：an2(n2，且 nN)证明：(1)当 n2 时，a222，不等式成立(2)假设当 nk(kN，k2)时不等式成立，即 ak2(k2)，那么 ak1ak2.11kk112k即当 nk1 时不等式也成立根据(1)(2)可知：an2 对所有 n2(nN)都成立4用数学归纳法证明：当 nN时，12232nnn2对从 n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0( )A1 B3C5 D.7解析：n 的取值与 2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于 2n的增长速度要远大于 n2的增长速度，故当 n4，即 n5 时，恒有 2nn2.答案：C2用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn能被 xy 整除”的第二步是( )A假设 n2k1 时正确，再推 n2k3 正确B假设 n2k1 时正确，再推 n2k1 正确C假设 nk 时正确，再推 nk1 正确D假设 nk(k1)，再推 nk2 时正确(以上 kN)解析：因为 n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n2k1 正确，再推第(k1)个正奇数即 n2k1 正确答案：B3凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形的对角线条数 f(n1)为( )2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案8Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 D.f(n)n2解析：凸 n 边形有 f(n)条对角线，每增加 1 条边，增加的那个顶点对应 n2 条对角线，它的相邻的两个顶点连成 1 条对角线，故凸 n1 边形的对角线条数 f(n1)比 f(n)多 n1条答案：C4用数学归纳法证明不等式的过程中，由 nk 到 nk11n11n21nn1324时，不等式左边的变化情况为( )A增加12k1B增加12k112k1C增加，减少12k112k11k1D增加，减少12k11k1解析：当 nk 时，不等式的左边，当 nk1 时，不等式的1k11k21kk左边，又1k21k31k1k11k21k31k1k1，所以由 nk 到 nk1 时，不等式的左(1k11k21kk)12k112k11k1边增加，减少.12k112k11k1答案：C5用数学归纳法证明12222n12n1(nN)的过程如下：当 n1 时，左边1，右边2111，等式成立假设当 nk 时，等式成立，即12222k12k1，则当 nk1 时，12222k12k2k11，12k112所以，当 nk1 时等式成立由此可知，对任何 nN，等式都成立2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案9上述证明的错误是_解析：当 nk1 时正确的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假设答案：没有用上归纳假设进行递推6用数学归纳法证明，推证当121 3223 5n22n12n1nn122n1nk1 时等式也成立时，只需证明等式_成立即可解析：当 nk1 时，故121 3223 5k22k12k1k122k12k3kk122k1k122k12k3只需证明即可kk122k1k122k12k3k1k222k3答案：kk122k1k122k12k3k1k222k37数列an满足 an0(nN)，Sn为数列an的前 n 项和，并且满足 Sn，12(an1an)求 S1，S2，S3的值，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法证明解：由 an0，得 Sn0，由 a1S1，整理得 a 1，12(a11a1)2 1取正根得 a11，所以 S11.由 S2及 a2S2S1S21，12(a21a2)得 S2，12(S211S21)整理得 S 2，取正根得 S2.2 22同理可求得 S3.3由此猜想 Sn.n用数学归纳法证明如下：(1)当 n1 时，上面已求出 S11，结论成立(2)假设当 nk(kN)时，结论成立，即 Sk.k那么，当 nk1 时，2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案10Sk1.12(ak11ak1)12(Sk1Sk1Sk1Sk)12(Sk1 k1Sk1 k)整理得 Sk1，取正根得 Sk1.2k1k1即当 nk1 时，结论也成立由(1)(2)可知，对任意 nN，Sn都成立n8用数学归纳法证明 1 1 n(nN)n2121312n12解：(1)当 n1 时，左式1 ，右式 1，1212且 1 ，命题成立321232(2)假设当 nk(nN)时，命题成立，即 1 1 k，k2121312k12则当 nk1 时，1 1 2k1.121312k12k112k212k2kk212k1k12又 1 121312k112k212k2k k2k (k1)，1212k12即当 nk1 时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的 nN都成立