2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案11数系的扩充与复数的引入对应学生用书P45数的概念的扩展已知方程(1)x22x20，(2)x210.2问题 1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.2问题 2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有问题 3：若有一个新数 i 满足 i21，试想方程 x210 有解吗？提示：有解 xi，但不是实数1复数的概念2复数集复数的全体组成的集合，记作 C.显然 RC.复数的相等问题 1：若 a，b，c，dR 且 ac，bd，复数 abi 和 cdi 相等吗？提示：相等问题 2：若 abicdi，那么实数 a，b，c，d 有何关系？2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案2提示：ac，bd.复数相等的充要条件设 a，b，c，d 都是实数，那么 abicdiac 且 bd.复平面及复数的几何意义问题 1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以问题 2：复数 zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点 Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应问题 3：在平面直角坐标系中点 Z(a，b)与向量(a，b)有何对应关系？OZ 提示：一一对应关系问题 4：复数 zabi(a，bR)与有何对应关系？OZ 提示：一一对应1复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴(2)任一个复数 zabi(a，bR)与复平面内的点 Z(a，b)是一一对应的这是复数的几何意义一个复数 zabi(a，bR)与复平面内的向量(a，b)是一一对应的OZ 2复数的模设复数 zabi(a，bR)在复平面内对应的点是 Z(a，b)，点 Z 到原点的距离|OZ|叫作复数 z 的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.a2b21注意复数的代数形式 zabi 中 a，bR 这一条件，否则 a，b 就不一定是复数的实部与虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数 0.3只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案3对应学生用书P46复数的基本概念例 1 复数 z(m23m2)(m2m2)i，当实数 m 为何值时，(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？思路点拨 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析 (1)当 m2m20，即 m2 或 m1 时，z 为实数(2)当 m2m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数(3)当Error!即 m2 时，z 为纯虚数一点通 (1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点(2)对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，勿忘其虚部必须不为零1设 a，bR.“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当 a0，且 b0 时，abi 不是纯虚数；若 abi 是纯虚数，则 a0.故“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要而不充分条件答案：B2若复数 z(x21)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )1x1A1 B0C1 D.1 或 1解析：由复数 z(x21)i 为纯虚数得1x1Error!解得 x1.答案：A2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案4复数的相等例 2 (1)已知(2x1)iy(3y)i，x，yR，求 x 与 y；(2)设 z11sin icos ，z2(cos 2)i.若 z1z2，求 .11sin 思路点拨 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解精解详析 (1)根据复数相等的充要条件，得方程组Error!得Error!(2)由已知，得Error!解得Error!则 2k(kZ)一点通 (1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想(2)注意(1)小题的条件 x，yR，若 x，y 未说明是实数，则不能这样解，比如若 x 为纯虚数，则可设 xbi(bR 且 b0)，然后再根据复数相等求相应的 x，y.3若 ai2bi(a，bR)，i 为虚数单位，则 a2b2( )A0 B2C. D.552解析：由题意得Error!则 a2b25.答案：D4若关于 x 的方程 x2(12i)x3mi0 有实根，则实数 m( )A. B.i112112C D.i112112解析：因为关于 x 的方程 x2(12i)x3mi0 有实根，即 x2(12i)x3mi0x2x3m(2x1)i0Error!m，故选 A.112答案：A2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案5复数的几何意义例 3 实数 a 取什么值时，复平面内表示复数 za2a2(a23a2)i 的点(1)位于第二象限；(2)位于直线 yx 上？思路点拨 位于第二象限的点的横坐标小于 0，纵坐标大于 0；位于直线 yx 上的点的横坐标等于纵坐标精解详析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 za2a2(a23a2)i的点就是点 Z(a2a2，a23a2)(1)由点 Z 位于第二象限得Error!解得21 B11 D.a0解析：|z1| ，|z2|，a244152017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案7 ，32|z1|z2|.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数 bi(b0，bR)不要只记形式，要注意 b0.2复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数 zabi(a，bR)、复平面内的点 Z(a，b)和平面向量之间的关系可用图表示OZ 对应课时跟踪训练十七1复数 1i2的实部和虚部分别是( )A1 和 i Bi 和 1C1 和1 D.0 和 0解析：1i2110，故选 D.答案：D2当 0，m10，则实数 m 的值为_解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m21)(m22m)i 应为实数，得Error!2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案9解得 m2.答案：27已知复数 z(m23m)(m2m6)i，当实数 m 为何值时，z 是实数；z46i；z 对应的点在第三象限？解：z(m23m)(m2m6)i.令 m2m60m3 或 m2，即 m3 或 m2 时，z 为实数Error!m4.即 m4 时 z46i.若 z 所对应的点在第三象限，则Error!0m3.即 0m3 时 z 对应的点在第三象限8在复平面内画出复数 z1 i，z21，z3 i 对应的向量，123212321OZ 2OZ ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系3OZ 解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点 Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(12，32)(1,0)，则向量，(12，32)1OZ 2OZ 3OZ 如图所示|z1| 1，(12)2(32)2|z2|1|1，|z3| 1.(12)2(32)2在复平面 xOy 内，点 Z1，Z3关于实轴对称，且 Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上