2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案1对应学生用书 P25一、导数的概念1函数在点 x0处的导数f(x0)li ，x 是自变量 x 在 x0附近的改变量，它可正、可负，mx0fx0xfx0x但不可为零，f(x0)是一个常数2导函数f(x)li ，f(x)为 f(x)的导函数，不是一个常数mx0fxxfxx二、导数的几何意义1f(x0)是函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，这是导数的几何意义2求切线方程常见的类型有两种：一是函数 yf(x)“在点 xx0处的切线方程” ，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数 yf(x)“过某点的切线方程” ，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点 P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又 y1f(x1)，由上面两个方程可解得 x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程三、导数的运算1基本初等函数的导数(1)f(x)c，则 f(x)0；(2)f(x)x，则 f(x)x1；(3)f(x)ax(a0 且 a1)，则 f(x)axln a；(4)f(x)logax，则 f(x)；1xln a(5)f(x)sin x，则 f(x)cos x；(6)f(x)cos x，则 f(x)sin x；2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案2(7)f(x)tan x，则 f(x)；1cos2x(8)f(x)cot x，则 f(x).1sin2x2导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3).fxgxfxgxfxgxg2x3复合函数的求导法则设复合函数 g(x)在点 x 处可导，yf()在点 处可导，则复合函数 f(g(x)在点 x 处可导，且 f(x)f()g(x)，即 yxyx.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量对应阶段质量检测二 见8开试卷(时间 90 分钟，满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数 f(x)，则 f( )1x2(12)A B1418C8 D.16解析：f(x)(x2)2x3，f2316.(12)(12)答案：D2若曲线 f(x)x2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 D.a1，b1解析：由 f(x)2xa，得 f(0)a1，将(0，b)代入切线方程得 b1，故选 A.答案：A3函数 yf(x)在 xx0处的导数 f(x0)的几何意义是( )A在点 xx0处的函数值2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案3B在点(x0，f(x0)处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值C曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案：C4若 f(x)sin cos x，则 f(x)( )Asin x Bcos xCcos sin x D.2sin cos x解析：函数是关于 x 的函数，因此 sin 是一个常数答案：A5曲线 yx x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )13(1，43)A3 B2C. D.1319解析：y1x2，故切线的斜率 kf(1)2，又切线过点，切线方程为 y 2(x1)，(1，43)43即 y2x ，23切线和 x 轴，y 轴交点为，.(13，0) (0，23)故所求三角形的面积 ，故选 D.12132319答案：D6函数 f(x)xsin x 的导函数 f(x)在区间，上的图像大致为( )解析：f(x)xsin x，f(x)sin xxcos x，f(x)sin xxcos xf(x)，f(x)为奇函数，由此可排除 A，B，D，故选 C.答案：C7若 f(x)log3(2x1)，则 f(3)( )A. B2ln 3232017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案4C. D.23ln 325ln 3解析：f(x)，f(3).22x1ln 325ln 3答案：D8若函数 f(x)满足 f(x) x3f(1)x2x，则 f(1)的值为( )13A0 B2C1 D.1解析：f(x)x22f(1)x1，所以 f(1)12f(1)1，则 f(1)0.答案：A9函数 y(a0)在 xx0处的导数为 0，那么 x0( )x2a2xAa BaCa D.a2解析：因为 y，所以x2a2xxx2a2x22x2a2x2x2x2a2x2x a20，解得 x0a.2 0答案：B10若函数 f(x) eax(a0，b0)的图像在 x0 处的切线与圆 x2y21 相切，则1bab 的最大值是( )A4 B22C2 D.2解析：函数的导数为 f(x) eaxa，1b所以 f(0) e0a ，1bab即在 x0 处的切线斜率 k ，ab又 f(0) e0 ，所以切点为，1b1b(0，1b)所以切线方程为 y x，即 axby10.1bab2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案5圆心到直线 axbx10 的距离 d1，1a2b2即 a2b21，所以 a2b212ab，即 01，1412故 f(x)g(x)答案：f(x)g(x)13已知函数 f(x)ln(x1)，其中实数 a1.若 a2，则曲线 yf(x)在点x1xa(0，f(0)处的切线方程为_解析：f(x).当 a2 时，f(0)xax1xa21x1a1xa21x1 ，而 f(0) ，因此曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为210221017412y (x0)，即 7x4y20.(12)74答案：7x4y202017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案614曲线 yf(x)ln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是_解析：f(x)，由2，得 x1，又 f(1)0，所以与直线 2xy30 平22x122x1行的切线的方程为 y2(x1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线 2xy30 的最短距离为 d.|32|55答案：5三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)求下列函数的导数：(1)ysin x ；1x(2)y(x22)(3x1)；(3)yxex；(4)y sin 2x.12解：(1)y(sin x)cos x.(1x)1x2(2)y(x22)(3x1)(x22)(3x1)2x(3x1)3(x22)9x22x6.(3)yxexx(ex)exxex(1x)ex.(4)y (sin 2x) 2cos 2xcos 2x.121216(本小题满分 12 分)求满足下列条件的函数 f(x)(1)f(x)是三次函数，且 f(0)3，f(0)0，f(1)3，f(2)0；(2)f(x)是二次函数，且 x2f(x)(2x1)f(x)1.解：(1)由题意设 f(x)ax3bx2cxd(a0)，则 f(x)3ax22bxc.由已知Error!解得 a1，b3，c0，d3，故 f(x)x33x23.(2)由题意设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2axb.2017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案7所以 x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，化简得(ab)x2(b2c)xc1，此式对任意 x 都成立，所以Error!解得 a2，b2，c1，即 f(x)2x22x1.17(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x33xf(a)(其中 aR)，且 f(a) ，求：1376(1)f(x)的表达式；(2)曲线 yf(x)在 xa 处的切线方程解：(1)f(x)x23f(a)，于是有f(a)a23f(a)f(a)，a22f(x) x3x，133a22又 f(a) ，即 a3 a3 a1，76133276f(x) x3 x；1332(2)由(1)知切点为，(1，76)切线的斜率 f(a) ，12切线方程为 y (x1)，7612即 3x6y40.18(本小题满分 14 分)设函数 f(x)ax(a，bZ)在点(2，f(2)处的切线方程为1xby3.(1)求 f(x)的解析式；(2)求曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线与直线 x1 和直线 yx 所围三角形的面积解：(1)f(x)a，1xb2于是Error!解得Error!或Error!因为 a，bZ，故Error!即 f(x)x.1x12017-2018 学年高中数学北师大版选修 2-2 同步配套教学案8(2)由(1)知当 x3 时，f(3) ，72f(x)1，f(3)1 ，1x12131234过点的切线方程为 y (x3)，(3，72)7234即 3x4y50.切线与直线 x1 的交点为(1,2)，切线与直线 yx 的交点为(5,5)，直线 x1 与直线 yx 的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为 |51|21|2.12