2017-2018 学年高中数学必修 2 学案1第第 1 1 课时课时 柱、锥、台的侧面展开与面积柱、锥、台的侧面展开与面积核心必知1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧2rl圆锥扇形S圆锥侧rl圆台扇环S圆台侧(r1r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧ch正棱锥S正棱锥侧ch1 2正棱台S正棱台侧 (cc)h1 2其中c，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h表示斜高问题思考1一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定2柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令cc，可以得到柱体的侧面积公式，令c0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S柱侧chcc,S台侧 (cc)hS锥侧ch.1 2c01 23棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？2017-2018 学年高中数学必修 2 学案2提示：不一定由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积讲一讲1(1)圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形，则圆柱的表面积为( )A6(43)B8(31)C6(43)或 8(31)D6(41)或 8(32)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )A11 B12C13 D14尝试解答 (1)选 C 圆柱的侧面积S侧64242.以边长为 6 的边为轴时，4 为圆柱底面周长，则 2r4，即r2，S底4，S全S侧2S底24288(31)以边长为 4 的边为轴时，6 为圆柱底面周长，则2r6，即r3，S底9，S全S侧2S底242186(43)(2)选 C 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心O1为PO2的中点， ，PO1 PO2PA PBO1A O2B1 2PAAB，O2B2O1A.S圆锥侧 2O1APA，1 22017-2018 学年高中数学必修 2 学案3S圆台侧 2(O1AO2B)AB，1 2 .S圆锥侧 S圆台侧O1APA O1AO2BAB1 31求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和2求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积练一练1圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是 180，故cSA210，所以SA20(cm)，同理可得SB40(cm)，所以ABSBSA20(cm)，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr2 12 2(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为 1 100 cm2.讲一讲2五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是 8 cm 和 18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是 13 cm，求它的侧面积尝试解答 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为 8 cm 和 18 cm，腰长为 13 cm 的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BECF.2017-2018 学年高中数学必修 2 学案4BEEFFC2BFADBC，BF13.BEBFAD1385.BCAD 2188 2又AB13，AE12.S四边形ABCD (ADBC)AE (188)12156(cm2)1 21 2故其侧面积为 1565780(cm2)要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答练一练2已知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA4，AC2，求该三3棱锥的表面积解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VAVBVC4，ABBCAC2，3取BC的中点D，连接VD，则VD，VB2BD242 3213SVBC VDBC 2，1 21 213339SABC (2)23，1 23323三棱锥VABC的表面积为3SVBCSABC333().3933932017-2018 学年高中数学必修 2 学案5讲一讲3已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？尝试解答 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图(1)设所求圆柱的底面半径为r，则 ， rRx，r RHx HR HS圆柱侧2rx2Rxx2.2R H(2)S圆柱侧是关于x的二次函数，当x 时，S圆柱侧有最大值，2R2 2RHH 2即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解练一练3已知底面半径为 cm，母线长为 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为36顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积解：如图，由题意易知圆锥的母线长为 3 cm.则SS底S柱侧S圆锥侧()2233363(363)(cm2)23如图所示，圆柱OO的底面半径为 2 cm，高为 4 cm，点P为母线BB的中点，2017-2018 学年高中数学必修 2 学案6AOB ，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程2 3巧思 将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个平面上解决妙解 将圆柱侧面沿母线AA剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.在 RtABP中，AB 2 (cm)，PB2(cm)，2 34 3AP (cm)AB2BP22 3429故蚂蚁爬的最短路程为 cm.2 34291矩形的边长分别为 1 和 2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A12 B11C14 D41解析：选 B 以边长为 1 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S12214，以边长为 2 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S22124，S1S24411.2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为( )A2 B22C4 D8解析：选 C 设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，2017-2018 学年高中数学必修 2 学案7则l (rR)1 2又 32(rR)l2l2，l216，l4.3(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A286 B30655C5612 D601255解析：选 B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示由题中所给条件，可求得SABD 4510，1 2SACDSBCD 4510，ACBC，1 241AB2，可求得ABC中AB边上的高为6，所以SABC 626.综54151 255上可知，该三棱锥的表面积为SABDSACDSBCDSABC306.54圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是_解析：设底面半径是r，则 2rR，r ，圆锥的高hR.R 2R2r232答案：R325若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于_2017-2018 学年高中数学必修 2 学案8解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为 2，高为 1，侧棱和底面垂直，故其表面积S22221362.343答案：6236.一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为 1 的平行四边形，左视图是一个长为，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 2 的正方形拼成的矩形求该几何体的3表面积S.解：由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S2(11112)362.3一、选择题1圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的 倍，那么它的侧面1 n积变为原来的( )A1 倍 Bn倍Cn2倍 D. 倍1 n解析：选 A 由S侧(rr)l.当r，r缩小 倍，l扩大n倍时，S侧不变1 n2已知正四棱锥底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为( )A12 B36 C24 D48解析：选 D 正四棱锥的斜高h4，52322017-2018 学年高中数学必修 2 学案9S侧4 6448.1 23长方体的对角线长为 2，长、宽、高的比为 321，那么它的表面积为( )14A44 B88 C64 D48解析：选 B 设长，宽，高分别为 3x,2x，x，则对角线长为x29x24x2x214，x2.14表面积S2(6x23x22x2)88.4圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A4S B2S CS D.S2 33解析：选 A 设圆柱的底面半径为R，则SR2，R，S 则圆柱的母线长l2R2.SS侧面积(2R)242R2424S.S 5(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A180 B200C220 D240解析：选 D 几何体为直四棱柱，其高为 10，底面是上底为 2，下底为 8，高为 4，腰为 5 的等腰梯形，故两个底面面积的和为 (28)4240，四个侧面面积的和为1 2(2852)10200，所以直四棱柱的表面积为S40200240，故选 D.二、填空题6已知圆台的上、下底面半径和高的比为 144，母线长为 10，则圆台的侧面积为_解析：设上底面半径为r，则下底面半径为 4r，高为 4r，如图2017-2018 学年高中数学必修 2 学案10母线长为 10，有 102(4r)2(4rr)2，解得r2.S圆台侧(r4r)10100.答案：1007