- 1 -第 1 课时 任意角的三角函数如图，直角ABC.问题 1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？提示：sin A ，cos A ，tan A .a cb ca b问题 2：如图，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(a，b)，作PMx轴，如何用图中的数据表示 sin ，cos ，tan ？提示：PMx轴，OPM为直角三角形，|OP|，|OM|2|PM|2a2b2sin ，cos ，|PM| |OP|ba2b2|OM| |OP|aa2b2tan .|MP| |OM|b a在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r0)规定：x2y2三角函数定义定义域- 2 -正弦sin y rR R余弦cos x rR R正切tan y x|k，k 2Z Z问题 1：由三角函数的定义知 sin 在什么条件下函数值为正？提示：的终边在第一、二象限或y轴正半轴问题 2：tan 在什么情况下为负数？提示：因 tan ，则x、y异号为负数，即的终边在二、四象限为负数y x三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知 sin y，cos x，tan .y x问题：sin 是否等于PM的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM的长，也可能等于PM长的相反数，把MP看成有向线段即可1有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段2有向线段数量- 3 -根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量3单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆4三角函数线设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角的正弦线与余弦线，即MPsin ，OMcos ；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角的终边或角终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角的正切线，即ATtan_.1三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关2三角函数值的符号，用角的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 3正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示例 1 已知角的终边上有一点P(3a,4a)(a0)，求 2sin cos 的值思路点拨 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定终边位置由于含有参数a，- 4 -而a的条件为a0，所以必须对a进行分类讨论精解详析 x3a，y4a，r5|a|.3a24a2当a0 时，r5a，角为第二象限角，sin ，y r4a 5a4 5cos ，x r3a 5a3 52sin cos 2 1.4 53 5当a0.从而 tan 108cos 3050.5 611 62 3从而0.cos 56tan 116sin 23式子符号为正(3)191是第三象限角，tan 1910，cos 1910.式子符号为正(4)0，cos 40.式子符号为正一点通 对于已知角，判断的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理4判断下列各式的符号：(1)sin 105cos 230；(2)cos 3tan.(2 3)解：(1)105、230分别为第二、第三象限角，sin 1050，cos 2300.于是 sin 105cos 2300.(2)3，3 是第二象限角， 2cos 30，又是第三象限角，tan0，2 3(2 3)cos 3tan0.(2 3)5已知 sin tan 0，则是第几象限角？解：sin tan 0，Error!或Error!当 sin 0，且 tan 0 时，为第一象限角；当 sin MP，符号相同sinsin，2 34 5OMOM，符号相同coscos，ATsin 1.2sin 17利用三角函数线，求满足下列条件的角x的集合(1)sin x ； (2)cos x.1 232解：(1)利用角x的正弦线，作出满足 sin x 的角x的终边所在位置的范围如图(1)的1 2阴影部分，由图形得角x的集合为Error!.(2)利用角x的余弦线，作出满足 cos x的角x的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影32部分，由图形得角x的集合为Error!.- 8 -1准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数定义中的是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的2确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y、横坐标x的符号；正切值则是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负3三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小课下能力提升(三)一、填空题1若是第三象限角，则_.|sin | sin cos |cos |解析：是第三象限角，sin 0，cos 0，1(1)0.|sin | sin cos |cos |答案：02有下列命题：(1)若 sin 0，则是第一、二象限的角；- 9 -(2)若是第一、二象限角，则 sin 0；(3)三角函数线不能取负值；(4)若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则 cos .xx2y2其中正确的序号是_解析：只有(2)正确；sin 10，但不是第一、二象限角，(1)不正确；三角函数 2 2线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为 0，(3)不正确；(4)应是 cos (是第二象限角，已有xtan ； 83 8sin sin .3 54 5其中判断正确的有_- 10 -解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin sin ，coscos ，tan 67 6( 4) 4sin ， 83 83 54 5正确答案：二、解答题6已知角的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角终边过点P(，y)，且 sin 3y(y0)，判断角所在的象限，并求 cos 的值34解：依题意，P到原点O的距离r|OP|. 32y23y2sin y.y ry3y234y0，93y216.y2 ，y.7 3213点P在第二或第三象限，且 cos . 33y233733 47已知角的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值解：角的终边在直线 3x4y0 上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，x2y24t23t2当t0 时，r5t，sin ，cos ，tan y r3t 5t3 5x r4t 5t4 5 ；y x3t 4t3 4当t0 时，r5t，sin ，cos ，tan y r3t 5t3 5x r4t 5t4 5 .y x3t 4t3 4综上可知，sin ，cos ，tan ；3 54 53 4或 sin ，cos ，tan .3 54 53 4- 11 -8已知0, cos OM0，tan AT0，由图知OM0，5 13是第一或第四象限角当是第一象限角时，sin ，1cos21(5 13)212 13tan ；sin cos 12 5当是第四象限角时，sin .1cos2 15 13212 13tan .sin cos 12 54保持本例(2)的条件不变，求 4sin23sin cos 5cos2的值解：4sin23sin cos 5cos24sin23sin cos 5cos2 sin2cos21.4tan23tan 5 tan214 43 25 41- 14 -例 2 化简：.tan tan sin tan sin (11 cos )sin 1sin 思路点拨 采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的精解详析 原式tan 1sin tan sin 1cos cos sin 1sin sin cos sin cos sin sin sin tan .1cos cos 1 1cos 1cos cos sin cos 一点通 化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的5._.sin cos tan 1解析：cos .sin cos tan 1sin cos sin cos 1sin cos sin cos cos 答案：cos 6化简的值为_12sin 10cos 10sin 10 1sin210解析：原式sin2102 sin 10cos 10cos210sin10 cos2101.sin 10cos 102sin 10cos 10cos 10sin 10 sin 10cos 10答案：17若2，化简： .3 21cos 1cos 1cos 1cos 解：2，0cos 1，1sin 0，3 2原式 1cos 2 1cos 1cos 1cos 2 1cos 1cos 1cos 2 1cos2 1cos 2 1cos2 - 15 - （1cos ）2 sin2（1cos ）2 sin21cos sin 1cos sin .2 sin 例 3 求证：sin (1tan )cos .(11 tan )1 sin 1 cos 思路点拨 从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用 tan 替换sin cos 精解详析 左边