- 1 -第 2 章 平面向量1民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班每次飞行都是民航客机的一次位移由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)2某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度43.242，平均出手速度大小为v28.35 m/s(如图乙)3起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起问题 1：上述实例中的“位移” 、 “速度” 、 “力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？提示：“位移” 、 “速度” 、 “力”既有大小，又有方向；长度、面积、重量只有大小，没有方向问题 2：如何表示上述既有大小又有方向的量？提示：用有向线段表示向量的基本概念定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、- 2 -B为终点的向量记为；AB (2)字母表示：用小写字母a a，b b，c c表示模向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB AB 几类向量定义模(大小)方向零向量长度为 0 的向量，记作 00任意的单位向量长度等于 1 个单位长度的向量1与起点、终点位置有关平行向量(共线)向量方向相同或相反的非零向量，亦称共线向量，规定零向量与任一向量平行不定相同或相反相等向量长度相等且方向相同的向量相等相同相反向量长度相等且方向相反的向量相等相反1对向量的理解向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性且不能比较大小2对相等向量的理解(1)平面向量a a与平面向量b b相等，并不要求它们有相同的起点与终点(2)将相等向量的起点平移到同一点，则这时它们的终点必重合所以我们可以说：一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合” (3)若，则，我们应该理解向量相等是可传递的AB CD CD EF AB EF 3共线向量的理解(1)平行(共线)的概念不是平面几何中平行概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关(2)平行向量就是共线向量，任何一组平行向量都可移到同一条直线上- 3 -例 1 给出下列命题：(1)若|a a|b b|，则a ab b或a ab b；(2)向量的模一定是正数；(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(4)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上AB CD 其中正确命题的序号是_思路点拨 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假精解详析 (1)错误由|a a|b b|仅说明a a与b b模相等，但不能说明它们方向的关系(2)错误.0 的模为零(3)正确对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的(4)错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量、AB 必须在同一直线上CD 答案 (3)一点通 理解向量的有关概念时，注意加以辨析：向量共线(平行)即表示共线(平行)向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以是平行的；而有向线段共线，即在同一直线上，有向线段平行，即所在直线是平行的1下列物理量中不是向量的有_(填序号)质量 速度 位移 力 加速度 路程 密度 功解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量答案：2下列命题中，正确的是_(填序号)若|a a|b b|，则a ab b若|a a|b b|，则a ab b若a ab b，则a a与b b共线若a ab b，则a a一定不与b b共线解析：向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此不正确两个向量的模相等，但方向不一定相同，因此不正确相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此正确对于选项，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a a与b b有共线的可能，故不正确- 4 -答案：3.给出以下 5 个条件：a ab b；|a a|b b|；a a与b b的方向相反；|a a|0 或|b b|0；a a与b b都是单位向量其中能使a a与b b共线的是_(填所有正确的序号)解析：根据相等向量一定是共线向量知正确；|a a|b b|但方向可以任意，不成立；a a与b b反向必平行或重合，成立；由|a a|0 或|b b|0，得a a0 或b b0.根据 0 与任何向量共线，得成立；两单位向量的模相等但方向不定，不成立答案：例 2 如图所示，A1，A2，A8是O上的八个等分点，则在A1，A2，A8及圆心O九个点中以任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？2思路点拨 (1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与iOA (i1,2，8)两类，一般地我们易想到(i1,2，8)这 8 个，而易遗漏iAO iOA (i1,2，8)这 8 个iAO (2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量，例如边A1A3对应向量与，213A A 31A A 因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算认为满足条件的向量个数为 8 是错误的精解详析 (1)模等于半径的向量有两类，一类是 (i1,2，8)共 8 个；另一类iOA 是 (i1,2，8)也有 8 个两类合计 16 个iAO (2)以A1，A2，A8为顶点的O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍所以模为半径的倍的向量共有 42216 个22一点通 (1)准确画出向量的方法：确定向量的起点；确定向量的方向；根据向量的长度确定向量的终点(2)向量的表示方法：向量的几何表示在研究向量运算时，为应用向量处理几何问题打下了基础；字母表示便于向量的运算- 5 -4下图中，小正方形的边长为 1，则|_；|_；|_.AB CD EF 解析：根据勾股定理可得|3，|，AB 2CD 26|2.EF 2答案：3 222625.如图所示，已知AD3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于 1 的向量有_解析：满足条件的向量有以下几类：模长为 2 的向量有：，；AC CA BD DB 模长为 3 的向量有：，.AD DA 答案：， AC CA BD DB AD DA 6如图，已知正方形ABCD边长为 2，O为其中心，则|_.OA 解析：由于正方形的对角线长为 2，2|.OA 2答案：2例 3 如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；DE (2)写出图中所示向量与向量相等的向量；FD (3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量DE FD 思路点拨 相等向量考虑向量的方向和大小，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向精解详析 (1)与长度相等的向量是，DE EF FD AF FC BD DA CE .EB - 6 -(2)与相等的向量是，.FD CE EB (3)与共线的向量是，；与共线的向量是，.DE AC AF FC FD CE EB CB 一点通 向量有两个要素：一是大小，二是方向两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时才称为相等的向量即a ab b就意味着|a a|b b|，且a a与b b的方向相同还要注意到零向量与零向量是相等向量7如图，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形，图中与共线的向量有_；AB 图中与相等的向量有_；AB 图中与模相等的向量有_；AB 图中与相等的向量有_；EC 图中与互为相反向量的有_AB 解析：ABCD，A，B，E三点共线，与，、共线AB CD BE AE ABBE，且与方向相同，.AB BE AB BE ABBCCDDABE，|.AB BC CD DA BE EC綊BD，.EC BD |，且与方向相反AB CD AB CD 与互为相反向量AB CD 答案：，、 ，