1高考七大高频考点例析高考七大高频考点例析对应学生用书 P64导数的几何意义及运算考查方式从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程；导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识备考指要函数yf(x)在x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)，于是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)求切线方程时，应明确“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的不同；熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算.考题印证例 1 (广东高考)曲线ye5x2 在点(0,3)处的切线方程为_解析 由ye5x2y5e5x切线的斜率ky|x05，于是切线方程为y35(x0)5xy30.答案 5xy30例 2 曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析 yx(3ln x1)，y3ln x1x 3ln x4，3 xky|x14，所求切线的方程为y14(x1)，即y4x3.答案 y4x3跟踪演练1曲线yex在点A(0,1)处的切线的斜率为_解析：y(ex)ex，所以当x0 时，ye01.答案：12曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为_2解析：y3x26x，当x1 时，y3，即斜率k3.所以切线方程为y23(x1)，即 3xy10.答案：3xy103如果曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx，那么点P的坐标为1 3_解析：由y4x31，当y3 时，有 4x313，可解得x1，此时，点P的坐标为(1,0)答案：(1,0)4(北京高考)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)，f(x)为偶函数(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1 时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1 时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11 时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是3(1，)利用导数研究函数的单调性考查方式利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主备考指要利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“， ”隔开，绝对不能用“”连接 .考题印证例 3 (山东高考)已知函数f(x)ax2bxln x(a，bR R)(1)设a0，求f(x)的单调区间；(2)设a0，且对任意x0，f(x)f(1)试比较 ln a与2b的大小解 (1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).2ax2bx1 x当a0 时，f(x).bx1 x()若b0，当x0 时，f(x)0，当 0 时，f(x)0，函数f(x)单调递增1 b所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(0，1 b)(1 b，)4当a0 时，令f(x)0，得 2ax2bx10.由b28a0，得x1，b b28a4ax2.bb28a4a当 0x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(0，bb28a4a).(bb28a4a，)综上所述，当a0，b0 时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0 时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；(0，1 b)(1 b，)当a0 时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(0，b b28a4a)，.b b28a4a(2)由题意知，函数f(x)在x1 处取得最小值由(1)知是f(x)的唯一极小值点，bb28a4a故1，整理得 2ab1 即b12a.bb28a4a令g(x)24xln x，则g(x).14x x令g(x)0，得x ，1 4当 00，g(x)单调递增；1 4当x 时，g(x)0，解之得x2 或x0 时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知 1.414 20，g(x)0；6()当b2 时，若x满足 20，23 22ln 20.692 8；8 2312当b1 时，ln(b1)ln，3 24b22b2g(ln) 2(32)ln 20.所以Mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3令h(k)(k1)ekk31，则h(k)k(ek3k)，令(k)ek3k，则(k)ek3e30，(1 2，1(1 2，x0)当k(x0,1)时，(k)0，h(1)0，(1 2)1 2e7 8所以h(k)0 在上恒成立，当且仅当k1 时取得“” (1 2，1综上，函数f(x)在0，k上的最大值M(k1)ekk3.例 5 (山东高考)设函数f(x)kex x2(2 xln x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0 时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围解 (1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)kx2ex2xex x4(2 x21 x)xex2ex x3kx2 x2x2exkx x3由k0 可得 exkx0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0 时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0 时，设函数g(x)exkx，x0，)，因为g(x)exkexeln k，当 00，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1 时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，9当且仅当Error!解得 e0 时，f(x)与f (x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f (x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)；单调递减区间是(k，k)当k0 时，因为f(k1)e ，所以不会有x(0，)，f(x) .k1 k1 e1 e当k0，且r0 可得 00，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解：(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2l r3，又V，4 380 3故lr.V43r3 r280 3r24 34 3(20 r2r)由于l2r，因此 03，所以c20，当r30 时，r.20 c2320 c2令 m，则m0，320 c2所以y(rm)(r2rmm2)8c2 r213若 0 ，9 2则当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点若m2，即 3 时，建造费用最小时r .9 2320 c2合情推理与演绎推理考查方式归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧” ，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力备考指要对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.考题印证例 7 (陕西高考)观察下列等式121122231222326122232421014照此规律，第n个等式可为_解析 观察规律可知，第n个式子为 12223242(1)n1n2(1)n1.nn1 2答案 12223242(1)n1n2(1)n1nn1 2例 8 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3 443,94 249 等显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99；3 位回文数有 90 个：101,111,121，191,202，999.则(1)4 位回文数有_个；(2)2n1(nN N*)位回文数有_个解析 2 位回文数有 9 个，4 位回文数有 91090 个，3 位回文数有 90 个，5 位回文数有 910101009 个，依次类推可得 2n1 位有 910n个答案 90 910n跟踪演练12下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)(1)请写出cn的一个表达式，cn_；(2)若数列cn的前n项和为Mn，则M10_.(用数字作答)解析：(1)通过观察归纳，得ann，bn2n，cnanbnn2n.(2)M10(1210)(222210)2 101.答案：n2n 2 10113先阅读下面的文字：“求 的值时，采用了如下的方法：令 1 1 1x，则有x，两边同时平方，得 1xx2，解得x(负值