二次函数解析式的几种表达式 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+h)2+k 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)根据下列条件求关于根据下列条件求关于x x的二次函数的解析式的二次函数的解析式1. 1.当当x=3x=3时，时，y y最小值最小值=-1=-1，且图象过（，且图象过（0 0，7 7）; ;2. 2.图象过点（图象过点（0 0，-2-2）（）（1 1，2 2）且对称轴为直线）且对称轴为直线 x=1.5;x=1.5;3. 3.图象经过点（图象经过点（0 0，1 1）（）（1 1，0 0）（）（3 3，0 0）; ;4. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1），且与x 轴 相交两点的距离为2，则其表达式为 .二次函数解析式的确定 二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式： 一般式：一般式： y=axy=ax2 2+bx+c (a,b,c+bx+c (a,b,c是常数是常数,a0),a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k (a,h,k+k (a,h,k是常数是常数,a0),a0) 两根式：两根式：y= a(x-xy= a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) (a, x) (a, x1 1，, , x x2 2是常数是常数,a0),a0) 当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一 般式，列出三元一次方程组求出待定系数。般式，列出三元一次方程组求出待定系数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时， 通常设解析式为顶点式求出待定系数。通常设解析式为顶点式求出待定系数。 当已知抛物线与当已知抛物线与x x轴的交点或交点的横坐标时，通轴的交点或交点的横坐标时，通 常设解析式为两根式，求出待定系数。常设解析式为两根式，求出待定系数。例2 已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A（0，a） B（1，-2） ，求证：这个二次函数的对称轴是直 线x=2。题目中的涂黑部分是一段被墨水污染了的文字 。（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次 函数的解析式 （2）请你根据已有的信息，在原题涂黑部分上， 增加一个条件，把原题补充完整。解：由题意得：解得所以能求出题目中二次函数的解析式，解析式为y=x-4x-1（2）答案不定：如 b=-4或点（0，1）等等例3： 已知直线y=2x+6与x轴，y轴分别相交于A，B两点 ，把二次函数y=-2x的图象先左右，后上下作两次平移 后，使它通过点A，B，求平移后的图象的解析式 解：x=0时，y=6 点B（0，6 ）y=0时，x=-3 点A（-3，0 ）平移后的图象与抛物线y=-2x形状相同所以可设平移后的图象的解析式为：y=-2x+bx+c 平移后的图象经过点A，B解得：所以平移后的图象的解析式为y=-2x2-4x+6 练习：抛物线y=2x-x绕它的顶点旋转180度后，得 到的新图象所对应的函数解析式为：答：y=x-2x+21. 1.抛物线抛物线y=xy=x2 2-2(m+1)x+n-2(m+1)x+n过点过点(2,4),(2,4),且其顶点在且其顶点在 直线直线y=2x+1y=2x+1上上, , (1)(1)求这抛物线的解析式求这抛物线的解析式. . (2)(2)求直线求直线y=2x+1y=2x+1与抛物线的对称轴与抛物线的对称轴x x轴所围成轴所围成 的三角形的面积的三角形的面积. .2、（2009年安徽）已知二次函数的图图象经过经过 原点及点（ ， ），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分别 说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4。乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标都是整数。丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数，且SABC= 3。请你写出满足上述条件的全部特点的所有的二次函数的解析式为 。OCABxyx=44. 4.已知抛物线已知抛物线 （n n为常数）。为常数）。 （1 1）当抛物线经过直角坐标系的原点，且顶点在）当抛物线经过直角坐标系的原点，且顶点在 第四象限时，求出它的函数关系式；第四象限时，求出它的函数关系式；例4：已知 -1和3是方程ax+bx+c=0的两个根 ，抛物线y=ax+bx+c与过点M（3，2）的直线 y=kx+b有一个交点N（2，3），求直线和抛物 线的解析式 解：因为点M（3，2）和点N（2，3）在直线上所以解得所以直线的解析式为y=-x+5 又-1和3是方程ax+bx+c=0的两个根 所以可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3) 因为点N（2，3）在抛物线上 所以a(2+1)(2-3)=3解得a=-1所以抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3）用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点 选择合适的方法来求解选择合适的方法来求解一般地，在所给条件中已知顶点坐标时一般地，在所给条件中已知顶点坐标时, , 可设顶点式可设顶点式y=a(x-y=a(x- h)h)2 2+k+k, , 在所给条件中已知抛物线与在所给条件中已知抛物线与x x轴两交点坐标或已知轴两交点坐标或已知 抛物线与抛物线与x x轴一交点坐标与对称轴轴一交点坐标与对称轴, , 可设交点式可设交点式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-)(x-x x2 2); );在所给的三个条件是任意三点时在所给的三个条件是任意三点时, , 可设一般式可设一般式 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c; ;然后组成三元一次方程组来求解然后组成三元一次方程组来求解. .