學競賽等式證明方法簡介學競賽等式證明方法簡介 信安師編寫 (甲)基本等式與恆等式簡介 (甲)基本等式與恆等式簡介 1.等式： (1)排序等式： 有個有序組 a1a2an及 b1b2bn 則 a1b1+a2b2+anbn njnjjbababa+. 2121a1bn+a2bn1+aibn+1i+anb1 j1, j2 ,j3,jn為1,2,3.,n的任一個排。 等號成 a1=a2=an且b1=b2=b3=bn (2)比雪夫等式： 有個有序組a1a2an及b1b2bn 則inniiniiniiniiibabanba+ =1 1111)(1(3)平均等式： 設a1、a2、an均為正，則H(n)G(n)A(n)Q(n)。 等號成 a1=a2=a3=an 其中H(n)=naaan 1.1121+(調和平均)，G(n)=nnaaa 21，(幾何平均) A(n)=1n (a1+a2+an) (算術平均)，Q(n)=naaan22 22 1 +(平方平均)。 (4)柯西等式： a1、a2、a3、an為n個實， 則(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2 等號成 bi=kai，i=1,2,3,n (5)二次函恆正、恆負的條件： 二次函f(x)=ax2+bx+c，D=b24ac f(x)恆正 a0，D0，可得(=niix1 1 n)(=niq ix11 n=niix1)q (7) Jensen inequality與廣義Jensen inequality (a)函在區間上凹口向上，且p1,p2,p3,.pnR+，a1,a2,ana,b， 則 )(xf,ba p1f(a1)+p2f(a2)+pnf(an) p1+p2+pnf(p1a1+p2a2+pnan p1+p2+pn)， 當p1=p2=pn=1n時，f(a1)+f(an)+f(an) nf(a1+a2+an n) 函凹口向下，則等式變方向。 (b)，則+Rai1,mRmmniinim inana )(11 =，等號成 a1=a2=an。 (亦成，則等式反過) 00、0且+=1，則 特別：設=inequalitylderoH & & =niiiba1 =niia1)( =niib1)(1 p、=1 q (p,q為正)且1 p + 1 q =1，上式中ai、bi分別用aip、biq取代，可得 =niiiqniq ipnip ibaba11111)()( 2.恆等式： (1)()2=+2 (2)=n()2 =niia1(1njiia b ab0，|a|b| a2b2 2 a,b為正，ab a b 1 (2)變代換法： 引進適當的變代換，簡化等式的型式。 (3)分析綜合法： 通過等式或等式的變形轉化為容的、熟知的等式，從而明等式的成，或是從容熟知的等式入手，經過一系的變形導出要證明的等式。 (4)學歸納法： 通常運用此方法證明與自然有關的等式。 (5)放縮法： 要證明AB，可先證明AC，再證明CB。使用此方法，如何找到一個適當的C，介於A、 B之間是使用此方法的關鍵。 (6)構造法： 通常將要證明的等式構造成相對應的圖形、函及而加以證明。 (丙丙)等式證明與求級值實講解等式證明與求級值實講解 下面我們舉一些實明如何使用一些技巧與方法證明等式與求極值。 (A)全國與各分區的試題觀摩： 題1 題1 設為銳角，試求9sec2+4csc2+12sec csc的最小值。(96台市筆試一) Ans：13+9312+6318 3 題2 題2 設ABC三邊長分別為a,b,c，證明： a2+b2+c2 sin2A+sin2B+sin2C 16 3 9。(96嘉義區試題二) 題3 題3 設ABC三邊長分別為a,b,c，且s=a+b+c2。已知ABC面積為1，試求 (sa)3+(sb)3+(sc)3的最小值。 Ans：43 (93全國獨研究一) 題4 題4 設多項式f(x)=x3+ax2+bx+1，其中a0、b0，且f(x)=0的三根都是實。 試證：f(2)27。 (92全國獨研究二) 4 題5 題5 設00。 試證明下述個等式成： (1)bc b+c。(92台市筆試一) (習1) (習1) 設實a1、b1、c1，試證：對於任意實r，則下等式恆成； (logabc)r+(logbca)r+(logcab)r32r。(96台南區試題二) (習2) (習2) a,b,c為任意正實，試證明：(a2+b2+c2)(a+b+c)9abc。(93台南區筆試一) (習3) (習3) a,b,c為一三角形三邊長，試證：a+bc + b+ca 2 b 。(93台南區筆試二) (習4) (習4) 設a1,a2,an皆為正，求證：=nkka1a12a2+ a22a3+ +an2a1。(94台南區筆試一) (習5) (習5) 設x,y,z均為非負整，且x+y+z=10，試問xyz+xy+yz+zx之最大值為何？ Ans：69 (96台南區試題二) (習6) (習6) 設x,y為實，則(x2cosy)2+(3x2+92siny)2的最小值=？(94新竹區筆試二) Ans：49 (習7) (習7) 試證：對於正a與b，恆有a2+b22a3+b32a4+b42a9+b92。(95台市筆試一) (習8) (習8) 設x,y,z為正實，且x2+y2+z2=25，試求xyz+ yzx+ zxy的最小值。(95高雄區筆試二) Ans：5 3 (習9) (習9) a1,a2,an為非負實且對於所有正整kn滿足a1a2a3ak1 (2k)！， 6 證明：a1+a2+an12。(90嘉義區筆試一) (習10) (習10) 已知正a,b,c滿足abc=1，試證：2111+ab+2111+bc+2111+ca 2 (94高雄市筆試一) (習11) (習11) 設a,b,c為某三角形的三邊長，試證：(a2+b2+c2)22(a4+b4+c4)。 (93區筆試一) (習12) (習12) 設a,b,c均為正，試證：1 2+a+b + 1 2+b+c + 1 2+c+a 1 2。(92屏東區筆試一) (B)國際與他國學競賽的試題觀摩： 題9 題9 設a,b,c為正實，且滿足abc=1，試證明： 1 a3(b+c) + 1 b3(c+a) + 1 c3(a+b) 3 2。(IMO36) 奧經典 P130 分析：考慮基本等式 題10 題10 設01、b1、c1，試證：對於任意實r，則下等式恆成； (logabc)r+(logbca)r+(logcab)r32r。(96 台南區試題二) 提示：可以考慮算幾等式 (習2) (習2) a,b,c為任意正實，試證明：(a2+b2+c2)(a+b+c)9abc。(93 台南區筆試一) 提示：可以考慮算幾等式 (習3) (習3) a,b,c 為一三角形三邊長，試證： a+bc + b+ca 2 b 。(93 台南區筆試二) 提示：2b=(a+bc)+(b+c-a)，試試看 Jensens 等式 (習4) (習4) 設a1,a2,an皆為正，求證：a12a2 =nkka1+ a22 a3+ +an2a1。(94 台南區筆試一) 提示：柯西等式 (習5) (習5) 設x,y,z均為非負整，且x+y+z=10，試問xyz+xy+yz+zx之最大值為何？ Ans：69 (96 台南區試題二) 提示：xyz+xy+yz+zx=xy(z+1)+z(x+y)14(x+y)2(z+1)+z(x+y)=1 4(10z)2(z+1)+4z(10z) 再考慮等號成的條件 (習6) (習6) 設x,y為實，則(x2cosy)2+(3x2+92siny)2的最小值=？(94 新竹區筆試二) Ans：49 提示：P(x,3x2)、Q(2cosy,2siny)，PQ2=(x2cosy)2+(3x2+92siny)2 P點在y=3x2、Q點在x2+y2=4 上 (習7) (習7) 試證：對於正a與b，恆有a2+b22a3+b32a4+b42a9+b92。(95 台市筆試一) 提示：證明：am+bm2an+bn2am+n+bm+n2，m,n為自然 (習8) (習8) 設x,y,z為正實，且x2+y2+z2=25，試求xyz+ yz x+ zx y的最小值。(95 高雄區筆試二) Ans：5 3 提示：a=xyz，b=yzx，c=zxyab+bc+ca=x2+y2+z2=25，求a+b+c的最小值 (習9) (習9) a1,a2,an為非負實且對於所有正整kn滿足a1a2a3ak1 (2k)！， 證明：a1+a2+an12。(90 嘉義區筆試一) 提示：k=1，a11 2！，因為a1,a2,an為非負實，所以a1+a2+ana11 2。 1 (習10) (習10) 已知正a,b,c滿足abc=1，試證：2111+ab+2111+bc+2111+ca 2 (94 高雄市筆試一) 提示：221)211(+ab 21)211(+ab 2111+abab112+2111+ab+2111+bc+2111+caab112+bc112+ca112+用abc=1，證明：ab112+bc112+ca112+= 2 (習11) (習11) 設a,b,c為某三角形的三邊長，試證：(a2+b2+c2)22(a4+b4+c4)。 (93區筆試一) 提示：(a2+b2+c2)22(a4+b4+c4) a4+b4+c42a2b22b2c22c2a20，可整得l240，(a1 a2+a3+an)k + (a2 a3+a4+an+a1)k+.+(an a1+a2+an1)k =kn ka)(kn ka)( kkas1=，f(x)=xk凹口向上，可得1n(kkas1=)(1nn ka=kkas1)k n kans=kkas1=(n)+ =kkas1，再用柯西等式 333111bacacbcb+nkankb(習18) (習18) 已知a,b,c均為正且a+b+c=1 ，試證：a 1。 (建中96決賽) 提示：用Jensens等式 (習19) (習19) 設a1,a2,a3,an和b1,b2,bn都是正實，且=， 求證：=k 1=k 1n ka2=+kkkba112。 (1991 APMO) 提示：用柯西等式 =k 1nka(習20) (習20) 設xi為正(i=0,1,n)，求證：(x0x1)n+(x1 x2)n+(xn