2017-2018 学年高三数学上学期一轮复习教案12017-20182017-2018 学年第一学期高三年级数学学科学年第一学期高三年级数学学科集集 体体 备备 课课 教教 案案课题平面向量的数量积及应用（共 4 课时）修改与创新教学目标1平面向量的数量积通过物理中“功“等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值 59 分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测 2017 年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学准备多媒体课件2017-2018 学年高三数学上学期一轮复习教案2教学过程一知识梳理：1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与OAaOBba的夹角；b说明：（1）当时，与同向；ab（2）当时，与反向；ab（3）当时，与垂直，记；2abab（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 0180。（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做ababab与的数量积（或内积） 。规定；ab00a向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值b|a b a ba称为射影；（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积。ababa（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。22|a aaa 乘法公式成立；2222abababab；2222abaa bb222aa bb平面向量数量积的运算律C2017-2018 学年高三数学上学期一轮复习教案9交换律成立：；a bb a对实数的结合律成立：； aba babR分配律成立：。abca cb c cab向量的夹角：cos=。cos,a ba b ab 2 22 22 12 12121 yxyxyyxx当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时 =1800，abab同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。0（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。1122( ,),(,)ax ybxyab1212x xy y（6）垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作。ababab两个非零向量垂直的充要条件：O，平面向量abab02121yyxx数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。),(yxa 222|yxa22|yxa如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么a),(11yx),(22yx(平面内两点间的距离公式)。2 212 21)()(|yyxxa2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。二典例分析(1)若向量a a(1, 1)，b b(2,5)，c c(3，x)满足条件(8a ab b)c c30，则x( )A6 B5C4 D3(2) (2012湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.AP AC 2017-2018 学年高三数学上学期一轮复习教案10(1) 8a ab b8(1,1)(2,5)(6, 3)，所以(8a ab b)c c(6,3)(3，x)30.即 183x30，解得x4.(2)法一：AC AP PC AP PD DC AP PD AB AP 2，又由APBD得且，PD AP PB AP PD PB AP PD AP PB 0，且0 于是(2)AP PD AP PB AP AC AP AP PD PB 222|218.AP AP 法二：()AP AC AP AB AD ()AP AB AB BD 2AP AB AP BD 2|cos ，AP AB AP AB 2|AP AB | |2|223218.AP (1)C (2) 18 由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a a，b b的模及夹角，利用公式abab|a a|b b|cos 求解；(2)已知向量a a，b b的坐标，利用数量积的坐标形式求解以题试法1(1)(2012天津高考)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1) ，R R.若2，则( )AP AB AQ AC BQ CP A. B.1 32 3C. D24 3解析：选 B 由题意可知(1) ，BQ AQ AB AC AB CP AP ，且0，故(1) AC AB AC AB AC BQ CP 222.又|1，|2，代入上式解得 .AC AB AB AC 2 3(2)(2011江西高考)已知两个单位向量e e1，e e2的夹角为，若向量 32017-2018 学年高三数学上学期一轮复习教案1b b1e e12e e2，b b23e e14e e2，则b b1b b2_.解析：b b1e e12e e2，b b23e e14e e2，则b b1b b2(e e12e e2)(3e e14e e2)3e e2e e1e e28e e.2 12 2又因为e e1，e e2为单位向量，夹角为， 3所以b b1b b232 83186.1 2答案：6两平面向量的夹角与垂直典题导入(1)(2012福州质检)已知|a a|1，|b b|2，a a与b b的夹角为 120，a ab bc c0，则a a与c c的夹角为( )A150 B90C60 D30(2)(2011新课标全国卷)已知a a与b b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a ab b与向量ka ab b垂直，则k_.(1)a ab b12cos 1201，c ca ab b，a ac ca a(a ab b)a aa aa ab b110，a ac c.a a与c c的夹角为 90.(2)a a与b b是不共线的单位向量，|a a|b b|1.又ka ab b与a ab b垂直，(a ab b)(ka ab b)0，即ka a2kababababb b20.k1kabababab0.即k1kcos cos 0(为a a与b b的夹角)(k1)(1cos )0.又a a与b b不共线，cos 1.k1.(1)B (2)1若本例(1)条件变为非零向量a a，b b，c c满足|a a|b b|c c|，a ab bc c，试求a a与b b的夹角解：设|a a|m(m0)，a a，b b的夹角为，由题设知(a ab b)2c c2，即 2m22m2cos m2，得 cos .又 0180，所以120，即a a，b b的夹角为 120.1 22017-2018 学年高三数学上学期一轮复习教案1由题悟法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a a，b b是非坐标形式时，求a a与b b的夹角，需求得abab及|a a|，|b b|或得出它们的关系以题试法2(1)设向量a a(x1,1)，b b(x1,3)，则a a(a ab b)的一个充分不必要条件是( )Ax0 或 2 Bx2Cx1 Dx2(2)已知向量a a(1,0)，b b(0,1)，c ca ab b(R R)，向量d d如图所示，则( )A存在0，使得向量c c与向量d d垂直B存在0，使得向量c c与向量d d夹角为 60