第二章 时域离散信号与系统的频域分析 离散时间傅立叶变换的定义 DTFT的主要性质 周期序列的离散傅立叶变换 时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系 离散系统的频域特性序列的傅立叶变换及其基本性质的应用 离散系统的频域特性学习内容：学习重点、难点：2.1 连续时间信号和系统的频域分析知识回顾1、连续时间周期信号特点：时域连续，频域离散连续时间周期信号的傅里叶级数对2、连续时间非周期信号连续时间非周期信号的傅里叶变换对特点：时域连续，频域连续2.2 离散时间傅立叶变换的定义及性质2.2.1 离散时间傅立叶变换定义 （DTFT)1、正变换：反变换：2、序列傅立叶变换存在的条件 序列绝对可和，一致收敛，序列绝对可和，一致收敛，FTFT存在存在 特殊序列（周期序列，特殊序列（周期序列，u(nu(n）) )等，引入等，引入冲冲激函数，激函数，FTFT也存在。也存在。 频谱用实部和虚部表示频谱用实部和虚部表示 频谱用幅度和相位表示频谱用幅度和相位表示 幅度特性幅度特性 相位特性相位特性 3、序列的幅度谱与相位谱 频谱是频谱是的连续周期函数，周期为的连续周期函数，周期为22。 DTFTDTFT频谱特点：时域离散，频域连续，频谱特点：时域离散，频域连续，以以22为周期。为周期。例2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。解:当N4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。clc; clear;y=1 1 1 1;x=0; n=0:3;w=0:0.01:2*pi;subplot(311);stem(n,y);xlabel(n);ylabel(x(n);for n=0:3x=x+exp(-j*w*n);endxx=abs(x);subplot(312);plot(w,xx);xlabel(w);ylabel(幅度)yy=angle(x);subplot(313);plot(w,yy)xlabel(w);ylabel(相位)程序清单例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立 叶变换，并讨论其收敛性。解：此序列的傅立叶变换为：|a|1|a|1时，anu(n)的傅立叶变换存在。2.2.2 序列傅立叶变换的性质1、FT的周期性其中， 0，2，4 对应对应 直流分量，3，5 对于信号的最高频分量对信号频谱只需分析 之间或02 之间因此：X(ej)以2为周期2、线性性质3、时移与频移性质时域移位， 频域有相移时域调制 频域移位4、指数加权，线性加权5、时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ej)=X(ej)H(ej)证明：令k=n-m 时域卷积， 频域乘法6、频域卷积定理设 y(n)=x(n)h(n), 则频域卷积， 时域乘法7、帕斯瓦尔定理（Parseval）内容：时域、频域能量守恒。即信号时域的总能量等于频域的总能量。证明：将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)（1）共轭对称序列： 若满足下式：xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。概念：共轭对称序列的性质：实部是偶函数，虚部是奇函数。8、 DTFT的对称性（2）共轭反对称序列： 若满足下式：xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。共轭反对称序列的性质：实部是奇函数，虚部是偶函数。例：共轭对称序列 5j 4j 0 4j 5j 共轭反对称序列 5j 4j 0 4j 5j （3）对任意序列x(n)任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n)由 x*(-n)=xe(n)-xo(n)有：任意序列x(n)X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)（4）对序列x(n)的X(ej)Xe(ej)=X*e(e-j) Xo(ej)=-X*o(e-j)对称性：（1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) 即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解其中证明略（2）若序列x(n)分成共轭对称分量xe(n)与共轭反对 称分量x0(n）之和x(n)=xe(n)+xo(n)则X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) 即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解其中有：由：证明（3）实因果序列的对称性因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为： 若x(n)是实序列， 则其FT只有共轭对称部Xe(ej)， 共轭反对称部分为零。 X(ej)=Xe(ej)=X*(e-j)XR(ej)=XR(e-j) XI(ej)=-XI(e-j)|X(ejw)|幅度是w的偶函数argX(ejw)相角是w的奇函数x(n)为实序列：x(n)=xe(n)+xo(n) 例 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解:序列x(n)共轭对称部分 xe(n)共轭反对称部分xo(n)2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换2.3.1 周期序列的离散傅立叶级数（DFS)设 是一个周期为N的周期序列， 即 r为任意整数 周期序列不绝对可和,因此周期序列的DTFT不存在，与 连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：DFS一、 的离散傅立叶级数（DFS）ak：傅立叶系数物理意义：将周期序列用周期为N的复指数序列表示。对应于信号的分解，将信号分解为多个信号的求和。二、傅立叶系数ak将上式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和 由：0kN-1又 ：所以：ak为周期序列，周期为N。0kN-1由：令：则：且：三、离散傅立叶级数变换对DFS的正变换：DFS的反变换：周期序列DFS特点：1.时域离散，频域离散2. 均以N为周期，周期延拓3.实际频率分量只有N项，直流， 2/N,2/N*2,2/N*k,2/N*(N-1)四、离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入， 则：正变换：反变换：解：幅度谱见书P42例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期为8的周期序列 ，求 的 DFS.周期序列的谱：非周期序列的谱：对周期为N的序列其DFS:其FT:结论：同一周期序列，其DFS和FT分别取模的形状是 一样的，不同的只是FT用单位冲激函数表示，幅度 倍乘2/N。2.3.2 周期序列的傅立叶变换例 2.3.2 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期为8的周期序列 ，求 的 FT.周期序列DFS非周期序列DTFT周期序列DTFT是对有限 长序列x(n)的 傅立叶变换的 等间隔抽样， 抽样间隔为 2/N，具有周 期性，每个2 周期内抽样样N个 点。一个结论：小结： 有限长序列DTFT周期序列DFS周期序列DTFT几个特殊信号的傅立叶变换:2、余弦序列的FT 1、复指数序列的FT3、常数序列的FT 1、复指数序列的FT2、余弦序列的FT 见书P43表3、常数序列的FT 当00时时2.4 离散信号的傅氏变换与模拟信号的傅氏 变换的关系 一、几组关系原连续信号及其频谱采样信号及其频谱序列及其频谱？二、离散信号傅氏变换与模拟信号傅氏变换的关系1、推导：即有：对照：结论：2、采样信号频谱与对应序列频谱的曲线关系： max模拟信号谱采样信号谱序列的频谱3、原模拟信号频谱与对应序列频谱的关系：由：有：见书P45页 式2.4.3三、模拟频率和数字频率之间的定标关系在一些文献中经常使用归一化频率。f=f/fs或=/s， =/2， 将f、 、 、 f、 、 的定标值对应关系用下图表示。 例 2.4.1 设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)、 、x(n)的傅立叶变换。解：略。2.5 离散时间系统的频响特性离散时间系统的单位冲激响应：h(n)离散时间系统的频率响应函数：幅度响应：|H(ej)|相位响应：()=argH(ej)频率响应函数的物理含义：设系统的输入为 则经过系统后的响应为：即：当系统输入为正弦序列，输出为同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej0)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。|Y(ej)|=|H(ej)|X(ej)| argY(ej)=argH(ej)+argX(ej) Y(ej)=X(ej)H(ej)频域几种特殊系统的系统： 全通滤波器全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。几种特殊系统的系统： 梳状滤波器消除电 网谐波 干扰几种特殊系统的系统：最小相位系统：所有零点都在单位圆内最大相位系统：所有零点都在单位圆外混合系统：单位圆内外都有零点的系统本章小结：1.序列的傅立叶正、反变换（DTFT)；2.序列傅立叶变换存在的条件； 序列频谱（幅度谱，相位谱，时域离散、 频域连续，2周期）； 序列傅立叶变换的性质； 周期序列的离散傅立叶变换； 模拟信号FT与序列FT的关系； 离散时间系统的频响特性。本章作业：P71T1 （7、8）T5T12T13T27 *T30