学案学案1 1 集集 合合 www.laomiaotan400315.com一、集合的有关概念1.元素与集合 . . .（2）集合中元素与集合的关系文字描述为 和 .符号表示为 和 .返回目录 （1）集合中元素的三个特性确定性 互异性 无序性 属于 不属于 考点分析返回目录 .2.集合间的基本关系(1)集合间基本关系相等关系:A B且B A ;子集:A是B的子集,符号表示为 或B A;真子集:A是B的真子集,符号表示为 或 .(2)不含任何元素的集合叫做 ,记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 .(3)集合的表示法列举法 描述法 图示法A=B A BA BB A空集 真子集 二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的 集合，称为集合A与B的并集，记作AB，即AB= . 2.交集 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成 的集合，称为A与B的交集，记作AB，即AB= . 3.补集 对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所有元素组 成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 CUA= .返回目录 x|xA,或xB x|xA,且xBx|xU,且x A4.集合的运算性质(1)交集AB= ; AA= ;A = ; AB A,AB B;AB=A .(2)并集AB= ;AA= ;A = ;AB A,AB B;AB=B .(3)交集、并集、补集的关系A( CUA)= ;A( CUA)= .CU(AB)= ; CU(AB)= .返回目录 BA A A BBA A A U 返回目录 若a,bR，集合1,a+b,a= ,求b-a的值.【分析分析】由1,a+b,a= 可知，a0，因此只能a+b=0 ，然后利用两集合相等的条件列出方程组 ，分别求出a,b的值即可.考点一考点一 集合的概念集合的概念 题型分析返回目录 【解析解析】由1,a+b,a= 可知a0,则只能a+b=0，则有以下对应关系：a+b=0 a+b=0=a b=ab=1 =1a=-1b=1所以b-a=2.或由得,符合题意；无解.【评析评析】 (1) 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点 ，列出方程组求解.但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性.(2) 解决此类问题还可以根据两集合中元素的和相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验.返回目录 返回目录 已知集合A= ,B=x2,x+y,0,若A=B,则x2 007 +y2 008 = ,A=B= .对应演练对应演练返回目录 -1-1,0,1(根据集合相等的定义知x=0或 =0.当x=0时, 无意义,只能 =0,得y=0,代入A,B得A=x,0,1,B=x2,x,0.又A=B,x2=1,x=1或x=-1.当x=1时,A=1,0,1,B=1,1,0,不符合集合元素的互异性,故舍去;当x=-1时,A=-1,0,1,B=1,-1,0,A=B,符合题意.x2 007 +y2 008 =(-1)2 007 +02 008 =-1.AB-1,0,1.)返回目录 考点二考点二 集合与集合的关系集合与集合的关系【分析分析】利用数轴作工具,使问题得到解决.已知集合A=x|00,则A= .(1)当a=0时，若A B，此种情况不存在.当a- a0时,若A B,如图,- - a22, a2. a2.综上知,此时a的取值范围是a0时，若B A，如图，02m-1,即m0,即a-3时,B=A=1,2才能满足条件.则由根与系数的关系得1+2=-2(a+1) a=-12=a2-5, a2=7综上,a的取值范围是a-3.,矛盾.即返回目录 (3)A( CUB)=A,A CUB,AB= .若B= ,则-3,此时需1 B且2 B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去);将1代入B的方程得a2+2a-2=0 a=-1 .a-1且a-3且a-1 .综上,a的取值范围是a-1+ .返回目录 【评析评析】解决参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论 、数形结合思想的应用 ，还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系 ，在解题中漏掉它极易导致错解.已知集合M=x|x-1|2,xR,P= ,则MP等于( )A.x|0x3,xZ B.x|0x3,xZ C.x|-1x0,xZ D.x|-1x0,xZ 返回目录 B B对应演练对应演练B(M=x|x-1|2,xR=x|-1x3,xR,P= = x|-1x4,xZ ,MP= x|0x3,xZ .故应选B.)考点四考点四 维恩维恩(Venn)(Venn)图的应用图的应用 向50名学生调查对A,B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3个,其余的不赞成;另外 , 对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?返回目录 【分析分析】画出Venn图,形象地表示出各数量关系间的联系.返回目录 【解析解析】赞成A的人数为50 =30(名),赞成B的人数为30+3=33(名),如图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A,B都赞成的学生人数为x，则对A,B都不赞成的学生人数为 +1，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.由题意得(30-x)+x+(33-x)+( +1)=50，x=21，对A,B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.【评析评析】 本题数量关系错综复杂,似乎与集合无关,但若把各种情况分别视为一个集合,则可利用维恩(Venn)图直观求解.返回目录 某校有21个学生参加了数学小组,17个学生参加了物理小组,10个学生参加了化学小组,他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的 有 6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加三个小组的有2人，现在这三个小组的学生都要去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？返回目录 对应演练对应演练 如图所示，该校学生参加三个小组的情况可看作下列互不包含的集合：A,B,C,D,E,F,G.依题意可知card(G)=2,card(D)=12-2=10,card(E)=6-2=4,card(F)=5-2=3.card(A)=21-2-10-4=5，card(B)=17-2-3-10=2,card(C)=10-2-3-4=1.需要预购车票数为5+2+1+10+4+3+2=27.返回目录 考点五考点五 自定义集合的运算自定义集合的运算若集合A1,A2满足A1A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A=1,2,3的不同分拆种数是( )A.27 B.26 C.9 D.8【分析分析】在正确理解“分拆”定义的基础上,采用列举法,注意分类.返回目录 A A【解析解析】当A1= 时,A2=1,2,3,只有一种分拆;当A1是单元素集时(有3种可能),则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素,也可能包含3个元素,有两类情况(如A1=1时,A2=2,3或A2=1,2,3),这样A1是单元素集时的分拆有6种;当A1是两个元素的集合时(有3种可能),则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素,还可能包含A1中的1个或2个元素(如A1=1,2时,A2=3或A2=1,3或A2=2,3或A2=1,2,3),这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种;返回目录 当A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包含0,1,2或3个元素(即A1=1,2,3时,A2可以是集合1,2,3的任意一个子集),这样A1=1,2,3时的分拆有23=8(种).集合A=1,2,3的不同分拆种数是1+6+12+827(种).故应选A.返回目录 【评析评析】解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义(或新运算) . 思路是找到与此新知识有关的所学知识,帮助理解 .同时 , 找出新知识与所学相关知识的不同之处,通过对比，加深对新知识的认识.返回目录 设集合S=A0,A1,A2,A3,在S上定义运算 为:Ai Aj=Ak,其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3,则满足关系式(x x) A2=A0的x(xS)的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4B对应演练对应演练 返回目录 B(验证法:(A0 A0) A2=A0 A2=A2A0,A0不满足关系式；（A1 A1）