- 1 -大题规范练大题规范练( (六六) )(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ac)2b2ac.3 4(1)求 cos B的值；(2)若b，且 sin A，sin B，sin C成等差数列，求ABC的面积13解：(1)由(ac)2b2ac，可得a2c2b2ac.3 45 4 ，a2c2b2 2ac5 8即 cos B .5 8(2)b，cos B ，135 8b213a2c2ac(ac)2ac，5 413 4又 sin A，sin B，sin C成等差数列，由正弦定理，得ac2b2，131352ac，ac12.13 4由 cos B ，得 sin B，5 8398ABC的面积SABCacsin B 12.1 21 23983 3942(本小题满分 12 分)如图(1)，平面四边形ABCD关于直线AC对称，BAD60，BCD90，CD4.把ABD沿BD折起，使A，C两点间的距离为 2.记BD的中点为E，如图2(2)(1)求证：平面ACE平面BCD；- 2 -(2)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值解：(1)证明：由已知可得CBCD4，ABAD4，AEBD，CEBD.又AECEE，因2此BD平面ACE.又BD平面BCD，因此平面ACE平面BCD.(2)如图，以CB，CD所在直线分别为x轴、y轴，过点C垂直于平面CBD的直线为z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，设A(x1，y1，z1)(z10)，则由Error!，可得Error!，由此解得x1y11，z1，故A(1，1，)，(1，1，)，66CA6(1,5，).(4,0,0)AD6CB设a a(x2，y2，z2)是平面ABC的法向量，则有Error!，即Error!，故x20，y2z2.6取z21 得a a(0， ，1)6设直线AD与平面ABC所成的角为，则 sin |cosa a， |，AD|a aAD|a a|AD|217即直线AD与平面ABC所成角的正弦值为.2173(本小题满分 12 分)当今时代，智能手机在人们日常生活中的应用越来越频繁，其中的一款软件微信更是逐渐成为人们交流的一种方式某机构对人们使用微信交流的态度进行调查，随机抽取了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流持赞成态度的人数如下表：年龄(单位：岁)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频数510151055赞成人数51010712(1)若以“年龄 55 岁为分界点” ，由以上统计数据完成下面的 22 列联表，并判断是否有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关？- 3 -年龄不低于 55 岁的人数年龄低于 55 岁的人数合计赞成不赞成合计(2)若从年龄在55,65)、65,75)的被调查人中各随机选取 2 人进行追踪调查，记所选中的4 人中赞成使用微信交流与不赞成使用微信交流的人数之差的绝对值为，求随机变量的分布列及数学期望参考数据如下：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考公式：K2，其中nabcd.nadbc2 abcdacbd解：(1)22 列联表如下：年龄不低于 55 岁的人数年龄低于 55 岁的人数合计赞成33235不赞成7815合计104050K29.5246.635，50 3 87 322 10 40 35 15所以有 99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关(2)依题意得的所有可能取值分别为 0,2,4，且P(0)0.3，C2 2 C2 5C2 4 C2 5C1 2C1 3 C2 5C1 4C1 1 C2 530 100P(4)0.18，C2 3 C2 5C2 4 C2 5P(2)1P(0)P(4)0.52.因此，的分布列是024P0.30.520.18所以的期望E()00.320.5240.181.76.4(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，直线l：x1，动直线l垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l于点P，设点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)以曲线C上的点Q(x0，y0)(y00)为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M(a,0)(a2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求ABF与- 4 -QAM面积的比解：(1)由题意得|PH|PF|，点P到直线l：x1 的距离等于它到定点F(1,0)的距离，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，点P的轨迹C的方程为y24x.(2)解法一：由y24x，当y0 时，y2，y，x1x以Q为切点的切线l1的斜率为k，1x0以Q(x0，y0)(y00)为切点的切线方程为l1：yy0(xx0)，1x0即yy0，整理得l1：4x2y0yy0.2 y0(xy2 0 4)2 0令x0，则y，B，y0 2(0，y0 2)令y0，则xx0，A(x0,0)，y2 0 4点M(a,0)到切线l1的距离d2(当且仅当y02时，y2 04a2y2 04y2 0422a2y2 04a1a2取等号)当点Q的坐标为(a2,2)时，满足题意的圆M的面积最小a2此时A(2a,0)，B(0，)a2SABF |1(2a)| (a1)，1 2a21 2a2SAQM |a(2a)|2|2(a1).1 2a2a2 ，ABF与QAM的面积之比为 14.SABF SAQM1 4解法二：由题意知切线l1的斜率必然存在，设为k，则l1：yy0k(xx0)由Error!，得yy0k，即(1 4y2x0)y2yy0y0，4 k4 k2 0由40 得(2ky0)20，(4 k)2(4 ky0y2 0)即k.2 y0l1：4x2y0yy0.(下同解法一)2 0- 5 -5(本小题满分 12 分)设函数f(x)x3ax2，g(x)2cos xx(x1)ln(x1)(1)若直线y4x是曲线yf(x)的切线，求实数a的值；(2)若对任意x11,2，都存在x2(1,1，使得f(x1)g(x2)3a4 成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x2a.设直线y4x与曲线yf(x)相切于点(x0，4x0)，则有Error!，解得x01，a7.(2)g(x)2sin x1ln(x1)12sin xln(x1)，当x(1,1时，y2sin x及yln(x1)均为增函数，g(x)在(1,1上为增函数，又g(0)0，当x(1,0)时，g(x)0；当x(0,1时，g(x)0，从而g(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，g(x)在(1,1上的最小值为g(0)2.依题意得，当x1,2时，f(x)min3a4g(0)3a2.当x1,2时，f(x)3x2aa3，a12当a30，即a3，x1,2时，f(x)单调递增，f(x)minf(1)a3，于是有a33a2(a3)，解得3a .1 2当a120，即a12，x1,2时，f(x)单调递减，f(x)minf(2)2a10，于是有2a103a2(a12)，解得a12.当12a3，x1,2时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调1， a 3a3，2递增，f(x)minf 2，于是有 23a2(12a3)，解得(a3)2a 3a32a 3a312a3.综上所述，a的取值范围是.(，1 2)请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是Error!(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的倾斜角的值14解：(1)由4cos 得24cos .- 6 -x2y22，xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为x2y24x0，即(x2)2y24.(2)将Error!代入曲线C的方程得(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则Error!|AB|t1t2|，t1t224t1t24cos212144cos22，cos ，或.22 43 47(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数f(x)|x2|2xa|，aR R.(1)当a1 时，解不等式f(x)4；(2)若存在x0，使f(x0)|x02|3 成立，求a的取值范围解：(1)当a1 时，f(x)|x2|2x1|.由f(x)4，得|x2|2x1|4.当x2 时，不等式等价于x22x14，解得x ，所以x2；5 3当 x2 时，不等式等价于 2x2x14，即x1，所以 1x2；1 2当x 时，不等式等价于 2x2x14，解得x1，所以x1.1 2所以原不等式的解集为x|x1 或x1(2)应用绝对值不等式可得f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|.因为存在x0，使f(x0)|x02|3 成立，所以(f(x)|x2|)min3，所以|a4|3，解得7a1，故实数a的取值范围为(7，1)