1.2.21.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点 同角三角函数的基本关系式思考 1 计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案 3 个式子的值均为 1.由此可猜想：对于任意角，有 sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得 sin y，cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.思考 2 由三角函数的定义知，tan 与 sin 和 cos 间具有怎样的等量关系？答案 tan ，tan .y xsin cos 梳理 (1)同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21.商数关系：tan (k，kZ Z).sin cos 2(2)同角三角函数基本关系式的变形2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案2sin2cos21 的变形公式sin21cos2；cos21sin2.tan 的变形公式sin cos sin cos tan ；cos .sin tan 类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度 1 已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例 1 若 sin ，且为第四象限角，则 tan 的值为( )5 13A. B. C. D.12 512 55 125 12答案 D解析 sin ，且为第四象限角，cos ，5 1312 13tan ，故选 D.sin cos 5 12反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二” ，即在 sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练 1 已知 tan ，且是第三象限角，求 sin ，cos 的值.4 3解 由 tan ，得 sin cos .sin cos 4 34 3又 sin2cos21，由得cos2cos21，即 cos2.16 99 25又是第三象限角，cos ，sin cos .3 54 34 5命题角度 2 已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值例 2 已知 cos ，求 sin ，tan 的值.8 17解 cos 0，是第一或第二象限角.1 5当为第一象限角时，cos 1sin2 ，11 252 65tan ；sin cos 612当为第二象限角时，cos ，tan .2 656121.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知 sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业课时作业一、选择题1.已知 cos ，(，)，sin ，为第三象限角，则 sin tan 3 5 212 13等于( )2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案9A. B.48 2548 25C. D.1 31 3答案 B解析 cos ，(，)，sin ，是第三象限角，3 5 212 13sin ，cos ，1cos24 51sin25 13即 tan ，则 sin tan .故选 B.12 548 252.已知是第二象限角，tan ，则 cos 等于( )1 2A. B.551 5C. D.2 554 5答案 C解析 是第二象限角，cos 0，即A为锐角.将sin A两边平方，得 2sin2A3cos A.23cos A2cos2A3cos A20，解得 cos A 或 cos A2(舍去)，1 2A. 311.若 sin ，tan 0，则 cos .22答案 2212.已知 sin cos ，且 ，则 cos sin .1 85 4答案 32解析 因为 ，5 4所以 cos 0，sin 0.利用三角函数线知，cos sin ，2018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案12cos sin cos sin 2 .12 1 832三、解答题13.已知 tan ，求的值.1 212sin cos sin2cos2解 原式sin cos 2sin2cos2 .sin cos sin cos tan 1 tan 11211211 3四、探究与拓展14.若 sin cos 1，则 sinncosn(nZ Z)的值为 .答案 1解析 sin cos 1，(sin cos )21，又 sin2cos21，sin cos 0，sin 0 或 cos 0.当 sin 0 时，cos 1，此时有 sinncosn1；当 cos 0 时，sin 1，也有 sinncosn1，sinncosn1.15.已知关于x的方程 2x2(1)x2m0 的两根为 sin 和 cos (0，)，3求：(1)m的值；(2)的值(其中 cot )；sin 1cot cos 1tan 1 tan (3)方程的两根及此时的值.解 (1)由根与系数的关系可知，sin cos ，312sin cos m.将式平方得 12sin cos ，2 322018 年新人教 A 版高中数学必修 4 导学案13所以 sin cos ，34代入得m.34(2)sin 1cot cos 1tan sin2 sin cos cos2 cos sin sin cos .sin2cos2 sin cos 312(3)由(1)得m，所以原方程化为 2x2(1)x0，解得x1，x2 .34332321 2所以Error!或Error!又因为(0，)，所以或. 3 6