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北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案1模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1设复数 z1 (其中 i 为虚数单位),则 z23的虚部为( )2izA2i B0 C10 D2解析:z1 12i,z2(12i)2i234i,12i.z2334i3(12i)2i.虚部为 2.zz答案:D2观察一列数的特点:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,则第 100 项是( )A10B13C14D100解析:91,113 132从第 92 项开始为 14,共有 14 项第 100 项为 14.答案:C3已知 i 是虚数单位,且 z2 0142i 的共轭复数为,则 z( )(1i1i)zzA5B1CD95解析:z2 0142i(i)2 0142i12i,故 z(12i)(12i)5.(1i1i)z答案:A4数列an中,a11,当 n2 时,anan12n1,依次计算 a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( )A3n2Bn2C3n1D4n3解析:计算出 a24,a39,a416,猜想 ann2.答案:B5为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接受方由密文北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案2明文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a2b,2bc,2c3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接受方收到密文 14,9,23,28 时,解密得到的明文为( )A4,6,1,7B7,6,1,4C6,4,1,7D1,6,4,7解析:由Error!得Error!故选 C答案:C6(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( )A(,1)B(,1)C(1,)D(1,)解析:(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i.由复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限,得Error!解得 a1.答案:B7由直线 x ,x,y0 与曲线 ysin x 所围成的封闭图形的面积为( )676A2B433C2D433解析:如下图,封闭图形的面积为Ssinxdx sinxdxsinxdx 02sinxdx sinxdx 02(cosx)(cosx)| 02(cos cos 0)cos 0cos(6)2(11)4.(132)3北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案3答案:B8已知 , 是三次函数 f(x) x3 ax22bx(a,bR)的两个极值点,且 (0,1),1312(1,2),则的取值范围是( )b3a2A B(,25)(25,1)C(1,)D(1,)(,25)解析:因为函数有两个极值,所以 f(x)0 有两个不同的根,即 0.又 f(x)x2ax2b,(0,1),(1,2),所以Error!即Error!的几何意义是动点 P(a,b)到b3a2定点 A(2,3)两点连线的斜率作出可行域如图,由图像可知当直线经过 AB 时斜率最小,此时斜率为 k ;当直线经过 AD 时斜率最大,此时斜率为 k1.故13322503124,则( )Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与 f(x2)的大小不确定解析:由 f(4x)f(x),得函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称由(x2)f(x)x12 时,f(x1)f(x2);当 x22x1时,由 x1x24,得 x24x12.故 f(4x1)f(x1)f(x2)综上,f(x1)f(x2)答案:B10若直线 xym0(mR)不可能是曲线 f(x)ax2ln x 的切线,则实数 a 的取值北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案4范围是( )Aa0Ba18Ca0),且直线 xym0(mR)的斜率为1.1x由对任意实数 m 直线 xym0 都不是曲线 yf(x)的切线,得曲线 yf(x)的切线的斜率不可能为1,即 2ax 1 无正实数根1x分离 a,得 a,也就是当 x0 时,不能成立12x212x令 y2 ,12x212x12(1x12)18设 t ,由 x0,得 t0.1x则 y2 0 且 a1)在区间0,)上是增函数,那么实数 a 的取值范围是( )AB(0,2333,1)C(1,D332,)解析:由已知得 f(x)2a2xln a(3a21)axln aaxln a(2ax3a21)0.当 a1 时,ln a0,ax0,2ax3a210 恒成立当 x0,)时,ax1,故只需 23a210,3a21.a2 与 a1 矛盾13当 00,2ax3a210,且 f(x)的值域为0,),则的最小值为_f1f0北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案6解析:f(x)2axb,f(0)b0.又函数 f(x)的值域为0,),a0,且 b24ac0,即 4acb2.c0.f(1)abc,111112,当且f1f0abcbacb2 acb4ac4ac仅当 ac 时等号成立的最小值为 2.f1f0答案:216定义两个实数间的一种新运算“*”:x*ylg(10x10y),x,yR.对任意实数a,b,c,给出下列结论:(a*b)*ca*(b*c);a*bb*a;(a*b)c(ac)*(bc)其中正确的是_(填序号)解析:a*blg(10a10b),(a*b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)同理 a*(b*c)lg(10a10b10c)a*(b*c)(a*b)*c.故正确同理可验证正确a*blg(10a10b),b*alg(10a10b),a*bb*a.又(ac)*(bc)lg(10ac10bc)lg10c(10a10b)lg(10a10b)c,(a*b)clg(10a10b)c,(a*b)c(ac)*(bc)故正确答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17(10 分)求证:acbd.a2b2c2d2证明:若 acbd0,则不等式显然成立若 acbd0,要证原不等式成立,只要证(acbd)2(a2b2)(c2d2),即要证 a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2,只要证(adbc)20.北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案7此式显然成立,所以原不等式成立18(12 分)设复数 z 满足 4z23i,sin icos (R)求 z 的值和|z|z3的取值范围解:设 zabi(a,bR),则abi.z代入 4z23i,z3得 4(abi)2(abi)3i,3即 6a2bi3i.3Error!解得Error!z i.3212|z|3212isin icos | (32sin )2(12cos )22 3sin cos .22sin(6)1sin1,(6)022sin4.(6)0|z|2.故|zw|的取值范围是0,219(12 分)已知复数 z(2xa)(2xa)i,x,aR,当 x 在(,)内变化时,试求|z|的最小值 g(a)解:|z|2(2xa)2(2xa)222x22x2a(2x2x)2a2.令 t2x2x,则 t2,22x22xt22.从而|z|2t22at2a22(ta)2a22.当a2,即 a2 时,g(a);a22当a2 时,g(a)|a1|.a22a22220(12 分)用数学归纳法证明不等式:.2124142n12nn1北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案8证明:当 n1 时,左式 ,右式,322左式右式,所以不等式成立假设 nk(k 1,kN)时不等式成立,即,2124142k12kk1则当 nk1 时, .2124142k12k2k32k1k12k32k12k32 k1要证当 nk1 时不等式成立,只需证,2k32 k1k2即证.2k32k1k2由基本不等式成立,故成立2k32k1k22k1k22k32 k1k2所以,当 nk1 时,不等式成立由可知,nN时,不等式成立2124142n12nn121(12 分)已知函数 f(x)x32bx2cx2 的图像在与 x 轴交点处的切线方程是y5x10.(1)求函数 f(x)的解析式(2)设函数 g(x)f(x) mx,若 g(x)的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g(x)取13得极值时对应的自变量 x 的值解:(1)由已知得切点为(2,0),故有 f(2)0,即 4bc30.又 f(x)3x24bxc,由已知 f(2)128bc5,得 8bc70.联立,解得 b1,c1.所以函数的解析式为 f(x)x32x2x2.(2)g(x)x32x2x2 mx,13令 g(x)3x24x1 m0.13北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案9当函数有极值时,方程 3x24x1 m0 有实数解,即 0.13由 4(1m)0,得 m1.当 m1 时,g(x)0 有实数根 x ,在 x 左右两侧均有 g(x)0,故函数 g(x)2323无极值当 m0),将 f(x)在1,1上的最小值记为 g(a)(1)求 g(a)(2)证明:当 x1,1时,恒有 f(x)g(a)4.(1)解:因为 a0,1x1,所以当 00.故 f(x)在(a,1)上是增函数所以 g(a)f(a)a3.当 a1 时,有 xa,则 f(x)x33x3a,f(x)3x230.知 t(a)在(0,1)上是增函数,所以 t(a)t(1)4,即 h(1)4.故 f(x)g(a)4.当 a1 时,g(a)23a,故 h(x)x33x2,得 h(x)3x23.此时 h(x)在(1,1)上是减函数因此 h(x)
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