方法五方法五 数形结合法数形结合法数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数” 预测 2017 年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系【数形结合思想概述数形结合思想概述】1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应（2）双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错（3）简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及 Venn 图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点） ，做好知识的迁移与综合运用4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是2首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图） ，然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证【数形结合思想解决的问题类型数形结合思想解决的问题类型】一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；例 1.【2017 江苏，14】设( )f x是定义在R 且周期为 1 的函数，在区间0,1)上,2,( ),xxDf xxxD其中集合1,*nDx xnnN，则方程( )lg0f xx的解的个数是 .【答案】8因此lg x 不可能与每个周期内xD 对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期xD 的部分的交点，3例 2【2016 年高考北京理数】设函数33 ,( )2 ,xx xaf xx xa.若0a ，则( )f x的最大值为_；若( )f x无最大值，则实数a的取值范围是_.【答案】2，(, 1) .【解析】如图作出函数3( )3g xxx与直线2yx 的图象，它们的交点是( 1,2)A ，(0,0)O，(1, 2)B，由2( )33g xx，知1x 是函数( )g x的极大值点，当0a 时，33 ,0( )2 ,0xx xf xx x，因此( )f x的最大值是( 1)2f ；由图象知当1a 时，( )f x有最大值是( 1)2f ；只有当1a 时，由332aaa ，因此( )f x无最大值，所求a的范围是(, 1) ，故填：2，(, 1) 二、构建函数模型并结合其图象研究方二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；程根的范围；例 3.对于实数a和b，定义运算“*”：a*bError!Error!设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_【答案】(1316，0)【解析】由定义可知，f(x)Error!Error!作出函数f(x)的图象，如图所示4由图可知，当 00，且x2x32 1，x2x3 .令Error!Error!1 21 4解得x或x(舍去)x10，x1x2x30.，答案 1341341341316(1316，0)三、构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；三、构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；例 4.函数 2axbf x xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A）0a ，0b ，0c （B）0a ，0b ，0c （C）0a ，0b ，0c （D）0a ，0b ，0c 【答案】C四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；例 5【2018 届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三 2 月联考】,P x y满足2210 24xyxyxy ，则22xy的最小值为_5【答案】4 5【解析】作出可行域：22xy的表示可行域上的点到原点的距离的平方，其最小值显然是原点到直线 AC 距离的平方： 20024 54 1故答案为： 4 5例 6.【2018 届山东省威海市高三上期末】在平面直角坐标系中，点 在圆上，若，则点 的横坐标的取值范围是_.【答案】【解析】设，则 因为，所以 ，又即在圆，又在直线的上6方，设直线与圆交点为，圆与 正半轴交于，则在弧上，由，得，又，即点 的横坐标的取值范围是，故答案为.五、构建立体几何模型研究代数问题；五、构建立体几何模型研究代数问题；例 7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则cos的最大值为 .【答案】2 5【解析】建立坐标系如图所示.设1AB ，则11(1,0),( ,0,0)22AFE .设(0, ,1)(01)Myy，则1(, ,1)2EMy ，由于异面直线所成角的范围为(0,2，所以2211 2(1)22cos115451144yyyy .2 222(1)8114545yy yy ，令81,19ytt ，则281161 814552y ytt，当1t 时取等号.所以2211 2(1)12222cos511555451144yyyy ，当0y 时，取得最大值.7zyxFMEQPDCBA例 8.【2016 高考上海文科】如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OP BAuu u r uu r 的取值范围是 .【答案】 1,2【解析】由题意，设(cos,sin)P, 0,，则(cos,sin)OP ，又(1,1)BA , 所以cossin2sin() 1,24OP BA .六、构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；六、构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；例 9.【2018 届云南省昆明市第一中学高三第六次月考】已知函数，若两个正数 ，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由可得，即对恒成立，所以在实数 上单调递增.因为，由 可得，由题意可得，画出 、 的可行域，8则可看作区域内点与定点的斜率.直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，所以，故选 C例 10.等腰直角AOB内接于抛物线22(0)ypx p，O为抛物线的顶点，OAOB，AOB的面积是 16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则| |OM MF的最大值为（ ）A3 3B6 3C2 3 3D2 6 3【答案】C七、构建方程模型，求根的个数；七、构建方程模型，求根的个数；例 11.已知函数的周期为 4，且当时， 其中若方程9恰有 3 个实数解，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】当，将函数化为方程，其曲线为半个椭圆（）时或半个圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当时的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象，由图易知直线与第二个椭圆无交点，与第一个折线有两个交点，将代入 得，由及解得，而时，所以所求范围是，故选 A.八、研究图形的形状、位置关系、性质等八、研究图形的形状、位置关系、性质等例 12.【2018 届江西省南昌市高三第一次模拟】函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数的图像关于坐标原点对称，据此可排除 B 选项，10考查函数，则，当时，单调递增，则，据此有：，据此可排除 C 选项；当时，则，据此可排除 D 选项；本题选择 A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项例 13.如图，长方形ABCD的边2AB ，1BC ，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数( )f x，则( )yf x的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)xy 4 23 4 22 3 4 2 4yxxy 4 23 4 22 3 4 2 4yx【答案】B【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时，即04x时，2tan4tanPAPBxx；当点P在CD边上运动时，即3,442xx时，2211(1)1(1)1tantanPAPBxx ，当2x时，2 2PAPB；当点P在AD边上运动时，即3 4x时，DPCB OAx112tan4tanPAPBxx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x对称，且()()42ff，且轨迹非线型，故选 B【反思提升】总的来说“数形结合”思想是解决许多数学问题的重要思想方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题1在数学中函数的图象、方程的曲线