2018 年高考数学（文）二轮复习- 1 -突破点突破点 12 圆锥曲线的定义、方程、几何性圆锥曲线的定义、方程、几何性质质核心知识提炼提炼 1 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为 e ；ca1b2a2在双曲线中：c2a2b2；离心率为 e .ca1b2a2(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为 y x；焦点坐标 F1(c,0)，x2a2y2b2baF2(c,0)；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为 y x，焦点坐标 F1(0，c)，y2a2x2b2abF2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程为 x ；(p2，0)p2抛物线 x22py(p0)的焦点坐标为，准线方程为 y .(0， p2)p2提炼 2 弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|1k21k2 x1x224x1x22018 年高考数学（文）二轮复习- 2 -或|AB|y1y2|.1(1k)21(1k)2y1y224y1y2(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2；弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)；p242psin2 ；以弦 AB 为直径的圆与准线相切1|FA|1|FB|2p高考真题回访回访 1 圆锥曲线的定义与方程1(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为 y x，则该双曲线312的标准方程为_y21 法一：双曲线的渐近线方程为 y x，x2412可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过点(4，)，3164()24，3双曲线的标准方程为y21.x24法二：渐近线 y x 过点(4,2)，而0，b0)x2a2y2b2由已知条件可得2018 年高考数学（文）二轮复习- 3 -Error!解得Error!双曲线的标准方程为y21.x242(2013全国卷改编)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，则 C 的方程为_1(x2) 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆x24y23心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)3x24y23回访 2 圆锥曲线的重要性质3(2017全国卷)若 a1，则双曲线y21 的离心率的取值范围是( )x2a2A(，) B(，2)22C(1，) D(1,2)2C 由题意得双曲线的离心率 e.a21ae21.a21a21a2a1，01，112，1a21a21e.2故选 C.4(2016全国卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离2018 年高考数学（文）二轮复习- 4 -为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( )14A. B.1312C. D.2334B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 1，即 bxcybcxcyb0.由题意知 2b，解得 ，即 e .故选 B.|bc|b2c214ca1212回访 3 弦长问题5(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物12线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|( )A3 B6 C9 D12B 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2，又 ，a4，b2a2c212，ca12从而椭圆方程为1.x216y212抛物线 y28x 的准线为 x2，xAxB2，将 xA2 代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.2018 年高考数学（文）二轮复习- 5 -故选 B.热点题型 1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型” ，第二步，待定系数法求“值” 【例 1】(1)(2017哈尔滨模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为 F，点x2a2y2b2A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) 【导学号：04024108】A.1 B1x24y212x212y24C.y21 Dx21x23y23(2)(2016通化一模)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|( )FPFQA. B3 72C. D252(1)D (2)B (1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点 A 在渐近线 y x 上ba由AOF 是边长为 2 的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.2018 年高考数学（文）二轮复习- 6 -又点 A 在双曲线的渐近线 y x 上， tan 60.baba3又 a2b24，a1，b，3双曲线的方程为 x21.故选 D.y23(2)如图所示，因为4，所以 ，过点 Q 作 QMl 垂足为 M，则FPFQ|PQ|PF|34MQx 轴，所以 ，所以|MQ|3，由抛物线定义知|QF|QM|3.|MQ|4|PQ|PF|34方法指津求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程2计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y22ax 或 x22ay(a0)，椭圆常设 mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为 mx2ny21(mn0)变式训练 1 (1)(2016郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆 x2(y2)21 相切的双曲线的标准方程为( ) 【导学号：04024109】A.1 B.y21x2113y211x222018 年高考数学（文）二轮复习- 7 -C.1 D.1y2113x211y211x2113(2)(2017衡水模拟)已知 A(1,0)，B 是圆 F：x22xy2110(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为( )A.1 B.1x212y211x236y235C.1 D.1x23y22x23y22(1)A (2)D (1)设双曲线的渐近线方程为 ykx，即 kxy0，由题意知1，解得 k，则双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线方程为|2|k2131，x2a2y2b2则有Error!解得Error!故选 A.(2)由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点 P 的3轨迹是以 A、F 为焦点的椭圆，且 a，c1，b，动点 P 的轨迹方32程为1，故选 D.x23y22热点题型 2 圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于 a，c 的方程或不等式是求解的关键【例 2】(1)(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P 是 C 上一点，y23且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF 的面积为( )A. B.1312C. D.23322018 年高考数学（文）二轮复习- 8 -(2)(2017合肥二模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心x2a2y2b2率为 e.P 是椭圆上一点，满足 PF2F1F2，点 Q 在线段 PF1上，且2.F1QQP若0，则 e2( )F1PF2QA.1 B222C2 D.235(1)D (2)C (1)因为 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，所以 F(2,0)y23因为 PFx 轴，所以可设 P 的坐标为(2，yP)因为 P 是 C 上一点，所以 41，解得 yP3，y2 P3所以 P(2，3)，|PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以 SAPF |PF|1 31 .121232故选 D.(2)由 PF2F1F2可得 P，不妨设 P，又由2得 Q(c， b2a)(c，b2a)F1QQP，则0，整理得(c3，2b23a)F1PF2Q(2c，b2a) (2c3，2b23a)4c232b43a2b42a2c2，(a2c2)22a2c2，整理得 c44a2c2a40，即 e44e210，又椭圆离心率 0e1，解得 e22，故选 C.3方法指津1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得2018 年高考数学（文）二轮复习- 9 -(2)用法：可得 或 的值baab利用渐近线方程设所求双曲线的方程变式训练 2 (1)(2016全国卷)已知 F1，F2是双曲线 E：1 的左，右焦点，x2a2y2b2点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sinMF2F1 ，则 E 的离心率为( )13A. B.232C. D23(2)(名师押题)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点x2a2y2b2F2的直线与椭圆交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) 【导学号：04024110】A. B2223C.2 D.563(1)A (2)D (1)法一：如图，因为 MF1与 x 轴垂直，所以|MF1|.又b2asinMF2F1 ，所以 ，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得13|MF1|MF2|132a|MF2|MF1|2|MF1|，所以 b2a2，所以 c2b2a22a2，所以离2b2a心率 e .ca2法二：如图，因为 MF1x 轴，2018 年高考数学（文）二轮复习- 10 -所以|MF1|.b2a在 RtMF1F2中，由 sinMF2F1 得13tanMF2F1.24所以，即，即，|MF1|2c24b22ac24c2a22ac24整理得 c2aca20，22