1回扣回扣 5 5 数数 列列1牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1 (q0)前n项和Snna1an2na1dnn12(1)q1，Sna11qn1qa1anq 1q ；(2)q1，Snna12.活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质等差数列等比数列性质若m，n，p，qN N*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若m，n，p，qN N*，且mnpq，则amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)(2)判断等差数列的常用方法定义法an1and(常数)(nN N*)an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数，nN N*)an是等差数列中项公式法2an1anan2 (nN N*)an是等差数列前n项和公式法SnAn2Bn(A，B为常数，nN N*)an是等差数列(3)判断等比数列的常用方法2定义法q (q是不为 0 的常数，nN N*)an是等比数列an1 an通项公式法ancqn (c，q均是不为 0 的常数，nN N*)an是等比数列中项公式法aanan2(anan1an20，nN N*)an是等比数列2n13数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和(2)形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和(3)通项公式形如an(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和canb1anb2(4)通项公式形如an(1)nn或ana(1)n(其中a为常数，nN N* *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.1已知数列的前n项和求an，易忽视n1 的情形，直接用SnSn1表示事实上，当n1 时，a1S1；当n2 时，anSnSn1.2易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是.ab3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算如等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求时，无法正确赋值求Sn Tnn1 2n3an bn解4易忽视等比数列中公比q0 导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解5运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论一定分q1 和q1 两种情况进行讨论6利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项7裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如 ，而是.1nn21 n1 n21nn21 2(1 n1 n2)8通项中含有(1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形3式1设等差数列an的前n项和为Sn，已知S130，S140，若akak10，则k等于( )A6 B7 C13 D14答案 B解析 因为an为等差数列，S1313a7，S147(a7a8)，所以a70，a80，a7a80，所以k7.2已知在等比数列an中，a1a23，a3a412，则a5a6等于( )A3 B15 C48 D63答案 C解析 q24，所以a5a6(a3a4)q248.a3a4 a1a23设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70，则满足Sn0 的最大自然数n的值为( )A6 B7C12 D13答案 C解析 a10，a6a70，a60，a70，等差数列的公差小于零，又a3a10a1a120，a1a132a70，S120，S130，满足Sn0 的最大自然数n的值为 12.4已知数列an满足139 3nnaa(nN N*)且a2a4a69，则1579 3log ()aaa等于( )AB31 3C3 D.1 3答案 C解析 由已知139 3nnaa32na，所以an1an2，所以数列an是公差为 2 的等差数列，a5a7a9(a23d)(a43d)(a63d)(a2a4a6)9d99227，所以15791 33log ()log 273.aaa 故选C.45已知正数组成的等比数列an，若a1a20100，那么a7a14的最小值为( )A20 B25C50 D不存在答案 A解析 在正数组成的等比数列an中，因为a1a20100，由等比数列的性质可得a1a20a4a17100，那么a7a142220，当且仅当a7a1410 时取a7a14100等号，所以a7a14的最小值为 20.6已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN N*)，则an等于( )A2n1B2nC2n1D2n2答案 A解析 an1Sn1Sn2an14(2an4)an12an，再令n1，S12a14a14，数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，an42n12n1，故选 A.7已知等差数列an的公差和首项都不等于 0，且a2，a4，a8成等比数列，则等于( )a1a5a9 a2a3A2 B3 C5 D7答案 B解析 在等差数列an中，a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，2 4d2a1d，d0，da1，3，故选 B.a1a5a9 a2a315a1 5a18已知Sn为数列an的前n项和，若an(4cos n)n(2cos n)，则S20等于( )A31 B122C324 D484答案 B解析 由题意可知，因为an(4cos n)n(2cos n)，所以a11，a2 ，a33，a4 ，a55，a6 ，2 54 56 5所以数列an的奇数项构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，偶数项构成首项为 ，公差为2 55的等差数列，2 5 所以S20(a1a3a19)(a2a4a20)122，故选 B.9已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项和，则(nN N*)的最小值为( )2Sn16 an3A4 B3C22 D.39 2答案 A解析 由题意a1，a3，a13成等比数列，可得(12d)2112d，解得d2，故an2n1，Snn2，因此(n1)2Sn16 an32n216 2n2n28 n1n122n19n12，由基本不等式知，(n1)2224，当9 n12Sn16 an39 n1n1 9 n1n2 时取得最小值 4.10已知F(x)f1 是 R R 上的奇函数，数列an满足anf(0)(x1 2)fff(1)(nN N*)，则数列an的通项公式为( )(1 n)(n1 n)Aann1 BannCann1 Dann2答案 C解析 由题意F(x)f1 是 R R 上的奇函数，即F(x)关于(0,0)对称，则f(x)关于(x1 2)对称(1 2，1)即f(0)f(1)2，f1，ff2，(1 2)(1 n)(n1 n)ff2，(2 n)(n2 n)则anf(0)fff(1)n1.(1 n)(n1 n)11在等差数列an中，已知a3a810，则 3a5a7_.答案 20解析 设公差为d，则a3a82a19d10，3a5a73(a14d)(a16d)4a118d21020.612若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则 ln a1ln a2ln a20_.答案 50解析 数列an为等比数列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13数列an的前n项和为Sn.已知a12，Sn1(1)nSn2n，则S100_.答案 198解析 当n为偶数时，Sn1Sn2n，Sn2Sn12n2，所以Sn2Sn4n2，故Sn4Sn24(n2)2，所以Sn4Sn8，由a12 知，S12，又S2S12，所以S24，因为S4S242210，所以S46，所以S8S48，S12S88，S100S968，所以S100248S41926198.14若数列an满足a2a1a3a2a4a3an1an，则称数列an为“差递减”数列若数列an是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn满足(n N N *)2Sn3an21，则实数的取值范围是_(n N N *)答案 (1 2，)解析 当n1 时，2a13a121，a112，当n1 时，2Sn13an121，所以 2an3an3an1，an3an1，所以an3n1，anan13n1(12)(12)3n23n2，依题意3n2是一个减数列，所以 240， .(12)(24)(24)1 215Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前 1 000 项和解 (1)设an的公差为d，由已知可知，S77a1d721d28，7 712解得d1，所以an的通项公式为an1(n1)1n.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bnError!所以数列bn的前 1 000 项和为 1902900311 893.16各项为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：Snaan (nN N*)1 4 2n1 21 47(1)求an；(2)设数列的前n项和为Tn，证明：对一切正整数n，都有Tn .1 a2n5 4(1)解 由Snaan 可知，1 4 2n1 21 4当n2 时，Sn1aan1 ，1 42n11 21 4由化简得