2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定学习目标 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题知识点 直线与平面平行的判定定理思考 1 如图，一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面 内，把这块木板绕 AB 转动，在转动过程中，AB 的对边 CD(不落在 内)和平面 有何位置关系？答案 平行思考 2 如图，平面 外的直线 a 平行于平面 内的直线 b.这两条直线共面吗？直线 a 与平面 相交吗？答案 由于直线 ab，所以两条直线共面直线 a 与平面 不相交梳理 线面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行Error!a2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义2类型一 直线与平面位置关系的判定例 1 如果两直线 ab，且 a，则 b 与 的位置关系是( )A相交 BbCb Db 或 b答案 D解析 由 ab，且 a，知 b 与 平行或 b.反思与感悟 用判定定理判定直线 a 和平面 平行时，必须具备三个条件：(1)直线 a 在平面 外，即 a；(2)直线 b 在平面 内，即 b；(3)两直线 a、b 平行，即 ab，这三个条件缺一不可跟踪训练 1 下列说法正确的是( )A若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 lB若直线 a 在平面 外，则 aC若直线 ab，直线 b，则 aD若直线 ab，b，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线答案 D解析 A 错误，直线 l 还可以在平面 内；B 错误，直线 a 在平面 外，包括平行和相交；C 错误，a 还可以与平面 相交或在平面 内故选 D.类型二 直线与平面平行的证明命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例 2 如图，S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是 SA，BD 上的点，且.AMSMDNNB求证：MN平面 SBC.证明 连接 AN 并延长交 BC 于 P，连接 SP.2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义3因为 ADBC，所以，DNNBANNP又因为，所以，所以 MNSP，AMSMDNNBAMSMANNP又 MN平面 SBC，SP平面 SBC，所以 MN平面 SBC.引申探究本例中若 M，N 分别是 SA，BD 的中点，试证明，MN平面 SBC.证明 连接 AC，由平行四边形的性质可知 AC 必过 BD 的中点 N，在SAC 中，M，N 分别为 SA，AC 的中点，所以 MNSC，又因为 SC平面 SBC，MN平面 SBC，所以 MN平面 SBC.反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理跟踪训练 2 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是平面 ABCD 外一点，M，N 分别是AB，PC 的中点求证：MN平面 PAD.证明 如图，取 PD 的中点 G，连接 GA，GN.G，N 分别是PDC 的边 PD，PC 的中点，GNDC，GN DC.12M 为平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义4AM DC，AMDC，AM 綊 GN，12四边形 AMNG 为平行四边形，MNAG.又MN平面 PAD，AG平面 PAD，MN平面 PAD.命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例 3 如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 AB 的中点，证明：BC1平面 A1CD.证明 如图，连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点又D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1DF.DF平面 A1CD，BC1平面 A1CD，BC1平面 A1CD.反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线跟踪训练 3 如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1.(1)求证：BC1平面 AB1D1；(2)若 E，F 分别是 D1C，BD 的中点，求证：EF平面 ADD1A1.证明 (1)BC1平面 AB1D1，AD1平面 AB1D1，BC1AD1，BC1平面 AB1D1.(2)点 F 为 BD 的中点，F 为 AC 的中点，又点 E 为 D1C 的中点，EFAD1，EF平面 ADD1A1，AD1平面 ADD1A1，EF平面 ADD1A1.1如果直线 a 平行于平面 ，则( )A平面 内有且只有一直线与 a 平行2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义5B平面 内无数条直线与 a 平行C平面 内不存在与 a 平行的直线D平面 内的任意直线与直线 a 都平行答案 B2如图，在正方体 ABCDABCD中，E，F 分别为平面 ABCD 和平面ABCD的中心，则正方体的六个面中与 EF 平行的平面有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 D解析 由直线与平面平行的判定定理知EF 与平面 AB，平面 BC，平面 CD，平面AD均平行故与 EF 平行的平面有 4 个3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 DD1的中点，则 A1C1与平面 ACE 的位置关系为_答案 平行解析 A1C1AC，A1C1平面 ACE，AC平面 ACE，A1C1平面 ACE.4如图，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E、F 分别是 AB、PD 的中点求证：AF平面 PCE.证明 如图，取 PC 的中点 M，连接 ME、MF，则 FMCD 且 FM CD.122018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义6又AECD 且 AE CD，12FM 綊 AE，即四边形 AFME 是平行四边形，AFME.又AF平面 PCE，EM平面 PCE，AF平面 PCE.1判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)(2)判定定理法：(a，b，aba)(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内2证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质(2)利用平行四边形的性质(3)利用平行线分线段成比例定理课时作业课时作业一、选择题1已知 a，b 是两条相交直线，a，则 b 与 的位置关系是( )AbBb 与 相交CbDb 或 b 与 相交答案 D解析 由题意画出图形，当 a，b 所在平面与平面 平行时，b 与平面 平行，当 a，b 所在平面与平面 相交时，b 与平面 相交2若 l 是平面 外的一条直线，则下列条件中可推出 l 的是( )Al 与 内的一条直线不相交Bl 与 内的两条直线不相交Cl 与 内的无数条直线不相交Dl 与 内的任意一条直线不相交2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义7答案 D解析 根据直线与平面的位置关系易判断选项 D 正确3一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 的距离相等，那么直线 l 与平面 的位置关系是( )AlBlCl 与 相交但不垂直Dl 或 l答案 D解析 l 时，直线 l 上任意点到 的距离都相等l 时，直线 l 上所有的点到 的距离都是 0；l 时，直线 l 上有两个点到 的距离相等；l 与 斜交时，也只能有两点到 的距离相等4点 E，F，G，H 分别是空间四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则空间四面体的六条棱中与平面 EFGH 平行的条数是( )A0 B1 C2 D3答案 C解析 如图，由线面平行的判定定理可知 BD平面 EFGH，AC平面 EFGH.5已知直线 a平面 ，P，那么过点 P 且平行于直线 a 的直线( )A只有一条，不在平面 内B有无数条，不一定在平面 内C只有一条，且在平面 内D有无数条，一定在平面 内答案 C解析 由平行公理知过点 P 作与直线 a 平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内6直线 a，b 为异面直线，过直线 a 与直线 b 平行的平面( )A有且只有一个B有无数多个C有且只有一个或不存在D不存在2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义8答案 A解析 在 a 上任取一点 A，则过 A 与 b 平行的直线有且只有一条，设为 b，又abA，a 与 b确定一个平面 ，即为过 a 与 b 平行的平面，可知它是唯一的7如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面 PCD；OM平面 PDA；OM平面 PBA；OM平面 PBC.其中正确的个数有( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 由题意知，OM 是BPD 的中位线，OMPD，故正确；PD平面 PCD，OM平面 PDC，OM平面 PCD，故正确；同理可得：OM平面 PDA，故正确；OM 与平面 PBA 和平面 PBC 都相交，故，不正确故共有 3 个结论正确8如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是 BC 的中点，D 是 AA1上的动点，且m，ADDA1若 AE平面 DB1C，则 m 的值为( )A. B1 C. D21232答案 B解析 如图，取 CB1的中点 G，连接 GE，DG，当 m1 时，ADGE BB1且12ADGE，四边形 ADGE 为平行四边形，则 AEDG，可得 AE平面 DB1C.二、填空题9过平面外一点，与该平面平行的直线有_条，如果直线 m 平行于平面，那么在平2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义9面内有_条直线与直线 m 平行答案 无数 无数10考查下列两个命题，在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 a、b 为不同的直线，、 为不重合的平面)，则此条件为_Error! a；Error!a.答案 a a解析 根据线面平行的判定定理知，处横线上应填 a；处横线上应填 a.11如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，则 BD1与过点 A，E，C的平面的位置关系是_答案 平行解析 如图，连接 BD，与 AC 交于点 O，连接 OE.OE 为BDD1的中位线，BD1OE.又 BD1平面 AEC，OE平面 AEC，BD1平面 AEC.三、解答题12如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 为 PB 的中点求证：PD平面 MAC.证明 如图所示，连接 BD 交 AC 于点 O，连接 MO，2018 版人教 A 版高中数学必修二同步学习讲义10则 MO 为BDP 的中位线，PDMO.PD平面 MAC，MO平面 MAC，PD平面 MA