2018 版考前三个月高考数学理科总复习4.与解析几何有关的压轴小题与解析几何有关的压轴小题1.在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为( )A. B. C.(62) D.4534554答案 A解析 设直线 l：2xy40.因为|OC| |AB|d1，其中 d1为点 C 到直线 l 的距离，所以12圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线.圆 C 半径最小值为 d2 ，其中12124525d2为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 面积的最小值为 2.故选 A.(25)452.(2017 届云南大理检测)已知双曲线 y21 与不过原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 相x22交于 M，N 两点，线段 MN 的中点为 P，设直线 l 的斜率为 k1，直线 OP 的斜率为 k2，则k1k2等于( )A. B. C.2 D.21212答案 A解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则 y 1，y 1，由点差法可得(y1y2)2 1x2 122 2x2 22(y1y2)，所以直线 l 的斜率为 k1，直线 OP 的x1x2x1x22y1y2x1x2x1x22y1y2x02y0斜率为 k2，k1k2 ，故选 A.y0x0x02y0y0x0123.(2017 届枣庄期末)过抛物线 y24ax(a0)的焦点 F 作斜率为1 的直线 l，l 与离心率为 e的双曲线1(b0)的两条渐近线的交点分别为 B，C.若 xB，xC，xF分别表示x2a2y2b2B，C，F 的横坐标，且 x xBxC，则 e 等于( )2 FA.6 B. C.3 D.63答案 D解析 由题意，知 F(a，0)，则直线 l 的方程为 yxa，2018 版考前三个月高考数学理科总复习双曲线的渐近线方程为 y x，ba直线 l 与渐近线的交点横坐标分为，a2aba2ab又 x xBxC，2 F即 a2，整理得2，a2aba2abb2a2e ，故选 D.ca1(ba)234.已知双曲线 x21(b0)，以原点 O 为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线y2b2的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 b，则双曲线的离心率为( )A. B.2 C.3 D.232答案 B解析 以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为 x2y21，渐近线的方程为ybx，设 A(x，bx)，因为四边形 ABCD 的面积为 b，所以 2x2bxb，x ，将 A12代入 x2y21 可得 b23，(12，b2)从而可得 c2，又因为 a1，所以离心率 e 2.ca5.已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，2(其OAOB中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值为( )A.2 B.3 C. D.17 2810答案 B解析 由题意得 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(14，0)x1y ，x2y ，y y y1y22，y1y22 或 y1y21，2 12 22 1 2 2A，B 位于 x 轴两侧，y1y22，两面积之和为S |x1y2x2y1| |y1| |y y2y y1| |y1|y2y1| |y1|121214122 12 2121418|y1|2y1y1|182018 版考前三个月高考数学理科总复习3，当且仅当|y1| 时“”成立.|2y198y1| |2y1| |98y1|436.已知 F1(c，0)，F2(c，0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且x2a2y2b2PF1c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )PF2A. B. C. D.33，1)13，1233，22(0，22答案 C解析 设 P(m，n)，则(cm，n)(cm，n)m2c2n2c2，PF1PF22c2m2n2.把 P(m，n)代入1，得1，x2a2y2b2m2a2n2b2代入得 m20，a2b22a2c2b2a2a2b22a2c2，即 b22c2，又 a2b2c2，a23c2e .ca33又 m2a2a22c2e ，a2b22a2c2b2a2ca22椭圆离心率的取值范围是.33，227.(2017 届河南开封月考)双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，x2a2y2b2F2(c，0)，M，N 两点在双曲线 C 上，且 MNF1F2，|F1F2|4|MN|，线段 F1N 交双曲线 C于点 Q，且|F1Q|QN|，则双曲线 C 的离心率为( )A.2 B. C. D.356答案 D解析 由于 MNF1F2，|F1F2|4|MN|，则|MN| ，c2设 N，又 F1(c，0)，(c4，y)且|F1Q|QN|，则 Q，点 N，Q 在双曲线上满足方程，有(3c8，y2)2018 版考前三个月高考数学理科总复习1，1，消去 y 得 e26，则 e.c216a2y2b29c264a2y24b268.(2017日照模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲x2a2y2b2线右支上一点(异于右顶点)，PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(2，0).过 F2作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，若使b2的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )|AB|A.(1，) B.(1，2) C.(，) D.(2，)22答案 C解析 设|F1F2|2c(c0)，PF1F2的内切圆分别与 PF1，F1F2，PF2切于点 G，H，I，则，.|PG|PI|F1G|F1H|，|F2H|F2I|由双曲线的定义知2a，|PF1|PF2|F1G|F2I|F1H|F2H|又|F1F2|2c，|F1H|F2H|所以ca，|F1H|ca，|F2H|所以 H，即 a2.(a，0)注意到这样的事实：若直线 l 与双曲线的右支交于 A，B 两点，则当 lx 轴时， |AB|有最小值b2；若直线 l 与双曲线的两支各交于一点(A，B 两点)，则当 ly 轴时， |AB|有最小2b2a值 2a，于是，由题意得 b22a4，b2，c2，所以双曲线的离心率 e a2b22ca.故选 C.29.(2017 届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考 )已知抛物线C：y22px(0p4)的焦点为 F，点 P 为 C 上一动点，A(4，0)，B(p，p)，且|PA|的最小值为，则|BF|等于( )215A.4 B. C.5 D.92112答案 B解析 设 P(x，y)且 y22px，则|PA|，x42y2x422pxx22p8x16根号下二次函数的对称轴为 x4p(0，4)，所以在对称轴处取得最小值，即，4p22p84p1615 解得 p3 或 5(舍去)，所以抛物线方程为 y26x，B(3，3)，2易知点 B 在抛物线上，2018 版考前三个月高考数学理科总复习所以|BF|3 ，故选 B.329210.(2017 届河南省天一大联考)等腰直角AOB 内接于抛物线 y22px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则的最大值为( )|OM|MF|A. B. C. D.33632 332 63答案 C解析 因为等腰直角AOB 内接于抛物线 y22px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，所以可设 A(a，a)(a0)，SAOB a2a16，得 a4，12将 A(4，4)代入 y22px，得 p2，抛物线的方程为 y24x，所以 F(1，0).设 M(x，y)，则 x0，设 t(0t1)，则1x1|OM|MF|x2y2x1x24xx112x13(x1)2，3t22t1433(t13)2432 33当 t 时“” 成立.故选 C.1311.过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 M，N 两点，若4，MFFN则直线 l 的斜率为_.答案 43解析 不妨设 M(x1，y1)(x10，y10)，N(x2，y2)，4，MFFNy14y2，设直线 l 的斜率为 kMN，联立Error!Error!得 y2yp20，2pky1y2p2，y2 ，x2 ，p2p82018 版考前三个月高考数学理科总复习kMN .p20p8p243根据对称可得直线 l 的斜率为 .4312.(2017 届四川成都诊断)如图，抛物线 y24x 的一条弦 AB 经过焦点 F，取线段 OB 的中点D，延长 OA 至点 C，使，过点 C， D 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，G，则|OA|AC|的最小值为_.|EG|答案 4解析 设点 A，B 的坐标为 A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意可知 222，|EG|OE|OG|yA|12|yB|(2|yA|)(12|yB|)|yAyB|设直线 AB 的斜率为 k，联立直线 AB 与抛物线的方程，由根与系数的关系，得 yAyBp24，由此可知|EG|4 ，当且仅当时等号成立，|yB|4|yA|即的最小值为 4.|EG|13.设双曲线 C：1(a0，b0)的左焦点为 F(c，0)，点 M，N 在双曲线 C 上，Ox2a2y2b2是坐标原点，若四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN 的面积为cb，则双曲线2C 的离心率为_.答案 23解析 设 M(x0，y0)，四边形 OFMN 为平行四边形，x0 ，c2四边形 OFMN 的面积为cb，2ccb，即b，|y0|2|y0|2M，代入双曲线方程得21，(c2， 2b)e24e1，2018 版考前三个月高考数学理科总复习e2.314.(2017湖南长沙一中月考)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F2.这两条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的取值范围是_.答案 (13，)解析 设椭圆和双曲线的方程分别为1 和1，椭圆和双曲线的半焦距为x2a2 1y2b2 1x2a2 2y2b2 2c，|PF1|m，|PF2|n，其中 mn，由于PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|10， ，即有 m10，n2c，由椭圆的定义可得 mn2a1，由双曲线的定义可得 mn2a2，即得 a15c，a25c，其中 c5，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c2c10，可得 c ，即 c5，5252由离心率公式可得 e1e2，由于 14，则由