2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案132.1 复数的加法与减法复数的加法与减法明目标、知重点 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题1复数加法与减法的运算法则(1)设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则 z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图：设复数 z1，z2对应向量分别为1，2，四边形 OZ1ZZ2为平行四边形，则与OZOZz1z2对应的向量是，与 z1z2对应的向量是.OZZ2Z1情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案2探究点一 复数加减法的运算思考 1 我们规定复数的加法法则如下：设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 仍然是个复数，且是一个确定的复数思考 2 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考 3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答 满足，对任意的 z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)证明：设 z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db)i，显然，z1z2z2z1，同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)例 1 计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解 (1)原式(1221)(2112)i2.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练 1 计算：(1)2i(32i)3(13i)；(2)(a2bi)(3a4bi)5i(a，bR)解 (1)原式2i(32i39i)2i11i9i.(2)原式2a6bi5i2a(6b5)i.探究点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设，分别与复数 abi，cdi 对应，则有(a，b)，(c，d)，OZ1OZ2OZ1OZ22017-2018 学年人教 B 版高中数学学案3由向量加法的几何意义(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i 对OZ1OZ2OZ1OZ2应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考 2 怎样作出与复数 z1z2对应的向量？答 z1z2可以看作 z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1z2对应的向量(如图)图中对应复数 z1，OZ1对应复数 z2，则对应复数 z1z2.OZ2Z2Z1例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示 0,32i，24i.求：(1)表示的复数；AO(2)表示的复数；CA(3)表示的复数OB解 (1)因为，AOOA所以表示的复数为32i.AO(2)因为，CAOAOC所以表示的复数为(32i)(24i)52i.CA(3)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.OBOAOCOB反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪训练 2 复数 z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案4解 设复数 z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为 A，B，C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)，如图则(xyi)(12i)ADODOA(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i.BCOCOB，(x1)(y2)i13i.ADBCError!，解得Error!，故点 D 对应的复数为 2i.探究点三 复数加减法的综合应用例 3 已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解 方法一 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21由得 2ac2bd1，|z1z2|ac2bd2.a2c2b2d22ac2bd3方法二 设 O 为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为 A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 OACB 是一个内角为 60，边长为 1 的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，|z1z2|OC.|OA|2|AC|22|OA|AC|cos 1203反思与感悟 (1)设出复数 zxyi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用(2)在复平面内，z1，z2对应的点为 A，B，z1z2对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案5OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形跟踪训练 3 例 3 中，若条件变成|z1|z2|1，|z1z2|.求|z1z2|.2解 由|z1|z2|1，|z1z2|，2知 z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为 1 的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|.21复数 z12 i，z2 2i，则 z1z2等于( )1212A0 B. i3252C. i D. i52525232答案 C解析 z1z2(2 )( 2)i i.121252522若 z32i4i，则 z 等于( )A1i B13iC1i D13i答案 B解析 z4i(32i)13i.3在复平面内，O 是原点，表示的复数分别为2i，32i,15i，则表示OAOCABBC的复数为( )A28i B66iC44i D42i答案 C解析 ()44i.BCOCOBOCABOA4若|z1|z1|，则复数 z 对应的点在( )A实轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限答案 B2017-2018 学年人教 B 版高中数学学案6解析 |z1|z1|，点 Z 到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上5已知复数 z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且 z1z2为纯虚数，则a_.答案 1解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，Error!，解得 a1.呈重点、现规律1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则