1学习目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程知识点一 变量间的相关关系1变量之间常见的关系函数关系变量之间的关系可以用函数表示相关关系变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示2.相关关系与函数关系的区别与联系类别区别联系函数关系函数关系中两个变量间是一种确定性关系；函数是一种因果关系，有这样的因，必有这样的果例如，圆的半径由 1 增大为 2，其面积必然由 增大到 4相关关系相关关系是一种非确定性关系例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅增加，两者之间即是一种非确定性的关系；相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系在一定的条件下可以相互转化，对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其线性回归方程后，可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行评估；相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况知识点二 散点图及正、负相关的概念1散点图将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图2正相关与负相关2(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域思考 任意两个统计数据是否均可以作出散点图？答 可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图知识点三 回归直线1回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归方程与最小二乘法我们用 yii来刻画实际观察值 yi(i1,2，n)与i的偏离程度，yii越小，偏离越小，yyy直线就越贴近已知点我们希望 yii的 n 个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的y直线是最贴近已知点的由于把 yii这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我y们用这些差量的平方和即 Qyiabxi)2作为总差量，回归直线就是所有直线中 Q 取最n i1小值的那一条这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法用最小二乘法求回归方程中的 ， 有下面的公式：ab其中 i， i.x1nn i1x y1nn i1y这样，回归方程的斜率为 ，纵截距为 ，即回归方程为 x .bayba思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？答 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的题型一 变量间相关关系的判断例 1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？3正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系解 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系正方形的边长与面积之间的关系是函数关系作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系综上，中的两个变量具有相关关系反思与感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系跟踪训练 1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( )A正方体的棱长与体积B角的度数与它的正弦值C单产为常数时，土地面积与粮食总产量D日照时间与水稻的单位产量答案 D解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系因为 A 项 Va3，B 项ysin，C 项 yax(a0，且 a 为常数)，所以这三项均是函数关系D 项是相关关系题型二 散点图例 2 5 名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：学生成绩ABCDE数学成绩8075706560物理成绩7066686462判断它们是否具有线性相关关系解 以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示4由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系反思与感悟 1.判断两个变量 x 和 y 间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关2画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论跟踪训练 2 对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i1，2，10)，得散点图；对变量 u，v有观测数据(ui，vi)(i1，2，10)，得散点图.由这两个散点图可以判断( )A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关答案 C题型三 求回归直线的方程例 3 某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程解 (1)散点图如图所示(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi30406050705xiyi60160300300560x2 i4162536645， 50，145，iyi1380xy5 i1x 2 i5 i1x于是可得， 6.5，b5 i1xiyi5x y5 i1x2 i5x213805 5 501455 52 506.5517.5.aybx于是所求的回归方程是 6.5x17.5.y反思与感悟 1.求回归方程的步骤(1)列表 xi，yi，xiyi.(2)计算 ，iyi.x yn i1x 2 in i1y 2 in i1x(3)代入公式计算 ， 的值ba(4)写出回归方程 x.yab2回归方程的理解：(1)两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断(2)回归系数 0，则变量正相关； 0，则变量负相关bb跟踪训练 3 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量6参考数据：i9.32，iyi40.17，0.55，2.646.7 i1y7 i1t7 i1yiy27参考公式：相关系数 r，回归方程 t 中斜率和截距最小二乘n i1tityiyn i1tit2n i1yiy2 yab估计公式分别为 ， .bn i1tityibn i1tit2aybt解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得4，(ti )228，0.55，t7 i1t7 i1yiy2(ti )(yi )iyii40.1749.322.89，r0.99.7 i1ty7 i1t t7 i1y2.890.55 2 2.646因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系(2)由 1.331 及(1)得y9.3270.103. 1.3310.10340.92.b7 i1tityiy7 i1tit22.8928aybt所以 y 关于 t 的回归方程为 0.920.10t.y将 2016 年对应的 t9 代入回归方程得 0.920.1091.82.y所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨数形结合思想例 4 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格 y(单位：万元)和房屋面积 x(单位：7m2)的数据：房屋面积 x11511080135105销售价格 y49.643.238.858.444判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？分析 作出散点图，利用散点图进行判断解 数据对应的散点图如图所示通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，且是正相关解后反思 判断两个变量 x 和 y 是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系注意不要受个别点的位置的影响1炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( )A确定性关系B相关关系C函数关系D无任何关系答案 B解析 炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等的影响，故为相关关系2设有一个回归方程为 1.5x2，则变量 x 增加一个单位时( )yAy 平均增加 1.5 个单位By 平均增加 2 个单位Cy 平均减少 1.5 个单位Dy 平均减少 2 个单位答案 C解析 两个变量线性负相关，变量 x 增加一个单位，y 平均减少 1.5 个单位3某商品的销售量 y(单位：件)与销售价格 x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A. 10x200B. 10x200yyC. 10x200D. 10x200yy8答案 A解析 结合图象(图略)，知选项 B，D 为正相关，选项 C 不符合实际意义，只有选项 A 正确4设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 0.85x85.71，则下列结论y中不正确的是( )Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心( ， )xyC若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kgD若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg答案 D解析 当 x170 时， 0.8517085.7158.79，体重的估计值为 58.79kg.y5正常情况下，年龄在 18 岁到 38 岁的人，体重 y(kg)对身高 x(cm)的回归方程为0.72x58.2，张明同学(20 岁)身高 178cm，他的体重应该在_kg 左右y答案 69.96解析 用回归方程对身高为 178cm 的人的体重进行预测，当 x178 时，0.7217858.269.96(kg)y1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关2求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且