2018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案12.4.1 抛物线的标准方程抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一 抛物线的定义思考 1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？思考 2 平面内，到两个确定平行直线 l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？思考 3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？梳理 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)距离_的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物线的_，定直线 l 叫做抛物线的_(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等于 11)知识点二 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准方程有何特点？梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：2018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案2图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0) ( ，0)p2xp2y22px(p0)( ，0)p2xp2x22py(p0)(0， )p2yp2x22py(p0)(0， )p2yp2类型一 抛物线的定义及理解例 1 (1)动点 M 的坐标满足方程 5|3x4y12|，则动点 M 的轨迹是( )x2y2A椭圆 B双曲线C抛物线 D以上都不对(2)已知点 P(x，y)在以原点为圆心的单位圆 x2y21 上运动，则点 Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)反思与感悟 抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程跟踪训练 1 平面上动点 P 到定点 F(1，0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程2018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案3类型二 抛物线标准方程及求解命题角度 1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例 2 抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x21 的渐近线的距离是( )y23A. B. C1 D.12323反思与感悟 根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是 1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程跟踪训练 2 (1)若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1，0)，则 p_；准线方程为_(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程y240x；4x2y；3y25x；6y211x0.命题角度 2 求解抛物线的标准方程例 3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5.反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出 p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值跟踪训练 3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程类型三 抛物线在实际生活中的应用例 4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m、高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？2018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案4反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练 4 喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处，喷出水流的最高点 B 高 5 m，且与 OA 所在的直线相距 4 m，水流落在以 O 为圆心，半径为 9 m 的圆上，则管柱 OA 的长是多少？1抛物线 y x2的准线方程是( )14Ay1 By2Cx1 Dx22已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2)到焦点的距离为4，则 m 的值为( )A4 B2C4 或4 D12 或23若抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p_.4若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点，则 p_.5已知 M 为抛物线 y24x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 N(2，3)，则|MN|MF|的最小值为_1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2mx(m0)，此时焦点为 F( ，0)，m4准线方程为 x ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2my(m0)，此时m4焦点为 F(0， )，准线方程为 y .m4m42设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径若 M(x0，y0)在抛物线 y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0 .p23对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题2018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案5提醒：完成作业 第二章 2.4.12018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案6答案精析答案精析问题导学知识点一思考 1 连接两定点所得线段的垂直平分线思考 2 一条直线思考 3 抛物线梳理 (1)相等 焦点 准线知识点二思考 (1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于 .p2题型探究例 1 (1)C (2)抛物线跟踪训练 1 解 方法一 设点 P 的坐标为(x，y)，则有|x|1，x12y2两边平方并化简得 y22x2|x|.y2Error!即点 P 的轨迹方程为 y2Error!方法二 由题意，动点 P 到定点 F(1，0)的距离比到 y 轴的距离大 1，由于点 F(1，0)到 y 轴的距离为 1，故当 x0)且3，p2p6，抛物线的方程为 y212x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得 5|AF|.|mp2|又(3)22pm，p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x.跟踪训练 3 解 设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点 F，(p2，0)由题意，得Error!解得Error!或Error!故所求的抛物线方程为 y28x，m2.6抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为 x2.例 4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系2018 年人教 B 版高中数学选修 2-1 学案8设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p ，得85x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)，165由 22yA，得 yA .又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以16554h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航跟踪训练 4 解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为 x22py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，所以 252p(5)，因此 2p5，所以抛物线的方程为x25y，点 A(4，y0)在抛物线上，所以 165y0，即 y0，165所以 OA 的长为 51.8(m)165所以管柱 OA 的长为 1.8 m.当堂训练1A 2.C 3.2 4.2 5.210