2017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案1学习目标 1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决测量高度的实际问题.2.能运用正弦、余弦定理解决测量角度的实际问题知识点一 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角如图所示知识点二 坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan )，如图h l题型一 测量高度问题例 1 如图所示，A，B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45，BAD120，又在 B 点测得ABD45，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解 由于 CD平面 ABD，CAD45，所以 CDAD.因此只需在ABD 中求出 AD 即可，2017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案2在ABD 中，BDA1804512015，由，得 ADABsin 15ADsin 45ABsin 45sin 15800 226 24800(1)(m)3即山的高度为 800(1)m.3反思与感悟 (1)在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解(2)与高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解在作示意图时要加强立体思维的锻炼，分清直角等几何元素跟踪训练 1 (1)甲、乙两楼相距 a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_答案 a，a32 33解析 甲楼的高为 atan 60a，3乙楼的高为aatan 30aaa.33332 33(2)如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB20 m，在 A 点处测得 P 点仰角OAP30，在 B 点处测得 P 点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度 h.(结果保留两个有效数字)解 在 RtAOP 中，OAP30，OPh.OAOPh.1tan 303在 RtBOP 中，OBP45，OBOPh.1tan 45在AOB 中，AB20，AOB60，由余弦定理得 AB2OA2OB22OAOBcos 60，即 202(h)2h22hh ，33122017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案4解得 h2176.4，h13 m.4004 32017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案5题型二 测量角度问题例 2 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(1)海里的 B3处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海3里/时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则CD10t，BD10t，3在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.33BC.又，6BCsin AACsinABCsinABC，ACsin ABC2sin 120622又ABC(0，60)，ABC45，B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理得，BDsinBCDCDsinCBDsinBCD .BDsinCBDCD10tsin 12010 3t12又BCD(0，90)，BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在BCD 中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即 10t.6t小时15 分钟6102017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案6缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方向角和方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练 2 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B 处，两船相距 a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快3追上乙船？相遇时乙船行驶了多少 n mile?解 如图所示，设两船在 C 处相遇，并设CAB，乙船行驶距离 BC 为 x n mile，则 ACx，3由正弦定理得sin ，BCsin 120AC12而 d2 Bd120 m Dd220 m2017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案7答案 B解析 仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1d2.3如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 5B北偏西 10C南偏东 5D南偏西 10答案 B解析 由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10.4如图所示，D，C，B 三点在地面的同一直线上，DCa，从 D，C 两点测得 A 点仰角分别为 ，()，则点 A 离地面的高度 AB 等于( )A. B.asin sin sin（）asin sin cos（）C. D.acos cos sin（）acos sin cos（）答案 A解析 结合图形可知DAC.在ACD 中，由正弦定理得，DCsinDACACsin AC.asin sinDACasin sin（）在 RtABC 中，ABACsin .asin sin sin（）5如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45，若 CD50 m，山坡对于地平面的坡度为 ，则cos 等于( )A. B.323C.1 D.1322017-2018 学年人教 A 版高中数学必修 5 学案1答案 C解析 在ABC 中，由正弦定理，ABsin 30ACsin 135AC100.2在ADC 中，ACsin（90）CDsin 15cos sin(90)1.ACsin 15CD31.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题3测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解