2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案1学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角 的范围是_(2)当 k 存在时，90；当 k 不存在时，90.(3)斜率的求法：依据倾斜角；依据直线方程；依据两点的坐标2直线方程几种形式的转化3两条直线的位置关系设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)平行A1B2A2B10 且 B1C2B2C10；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)A1A2B1B2C1C24距离公式(1)两点间的距离公式已知点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|_.2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案2(2)点到直线的距离公式点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_；两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 的距离d_ .类型一 待定系数法的应用例 1 过点 A(3，1)作直线 l 交 x 轴于点 B，交直线 l1：y2x 于点 C，若|BC|2|AB|，求直线 l 的方程反思与感悟 待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法直线的方程常用待定系数法求解选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等跟踪训练 1 求在两坐标轴上截距相等，且到点 A(3,1)的距离为的直线的方程2类型二 分类讨论思想的应用例 2 过点 P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线的方程反思与感悟 本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在跟踪训练 2 已知经过点 A(2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1与经过点 P(0，1)和点 Q(a，2a)的直线 l2互相垂直，求实数 a 的值2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案3类型三 最值问题命题角度1 可转化为距离求最值的问题例 3 求函数 y|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x22x5x24x5x 的值反思与感悟 数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合跟踪训练 3 已知实数 x、y 满足 4x3y100，求 x2y2的最小值命题角度2 利用对称性求最值例 4 已知直线 l：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4)(1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|PB|最小；(2)在直线 l 上求一点 P，使|PB|PA|最大反思与感悟 (1)中心对称两点关于点对称：设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则点 P1(x1，y1)关于点 P(a，b)对称的点为P2(2ax1,2by1)，即点 P 为线段 P1P2的中点；两直线关于点对称：设直线 l1，l2关于点 P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点 P2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案4对称的点都在另外一条直线上，必有 l1l2，且点 P 到直线 l1、l2的距离相等(2)轴对称两点关于直线对称：设点 P1，P2关于直线 l 对称，则直线 P1P2与 l 垂直，且 P1P2的中点在l 上跟踪训练 4 在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得：(1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大；(2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小1若方程(6a2a2)x(3a25a2)ya10 表示平行于 x 轴的直线，则 a 的值是( )A. B.2312C. ， D2312122倾斜角为 150，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是( )A.x3y10 B.x3y0333C.x3y0 D.x3y033333已知直线 l 不经过第三象限，若其斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b(b0)，则( )Akb0 Dkb04直线 l：xy10 关于 y 轴对称的直线方程为( )Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy105若直线 mx(m2)y20 与 3xmy10 互相垂直，则点(m,1)到 y 轴的距离为_1一般地，与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym0；与之垂直的直线方程可设为 BxAyn0.2过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括直线 l2.2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案53点到直线的距离与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等答案精析答案精析知识梳理1(1)01802ykxb 1xayb4(1)x2x12y2y12(2) |Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B2题型探究例 1 解 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x3，B(3,0)，C(3,6)此时|BC|6，|AB|1，|BC|2|AB|，直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y1k(x3)，显然 k0 且 k2.令 y0，得 x3 ，1kB(3 ，0)，1k由Error!得点 C 的横坐标xC.3k1k2|BC|2|AB|，|xBxC|2|xAxB|，| 3|2| |，3k1k21k1k 3 或 3 ，3k1k21k2k3k1k21k2k解得 k 或 k .32142017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案6所求直线 l 的方程为 3x2y70 或 x4y70.跟踪训练 1 解 当直线过原点时，设直线的方程为 ykx，即 kxy0.由题意知，|3k1|k212解得 k1 或 k .17所以所求直线的方程为 xy0 或 x7y0，当直线不经过原点时，设所求直线的方程为 1，xaya即 xya0.由题意知，|31a|22解得 a2 或 a6.所以所求直线的方程为 xy20 或 xy60.综上可知，所求直线的方程为 xy0 或 x7y0 或 xy20 或 xy60.例 2 解 当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为 x1，x0，它们在 x轴上截距之差的绝对值为 1，符合题意当直线的斜率存在时，设其斜率为 k，则两条直线的方程分别为 yk(x1)，y2kx.令 y0，得 x1 与 x .2k由题意得|1 |1，即 k1.2k两条直线的方程分别为 yx1，yx2，即 xy10，xy20.综上可知，所求两条直线的方程分别为 x1，x0 或 xy10，xy20.跟踪训练 2 解 直线 l1的斜率 k1a，3a012当 a0 时，直线 l2的斜率 k2.2a1a012aal1l2，k1k21，即 a1，得 a1.12aa当 a0 时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线 l2为 y 轴，A(2,0)，B(1,0)，这时直线 l1为 x 轴，显然 l1l2.2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案7综上可知，实数 a 的值为 1 或 0.例 3 解 将已知条件变形为y|x1222x2212|x12022|.x22012故设 M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，原条件变为 y|MA|MB|.则上式的几何意义为 x 轴上的点 M(x,0)到定点 A(1,2)与 B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|BM|时，y 取最小值 0.即，解得 x0，此时点 M 在坐标原点， ymin0.x124x221又由三角形性质可知，|MA|MB|AB|，即当|MA|MB|AB|，即当 A、B、M 三点共线时，y 取最大值由已知，得直线 AB 的方程为 y2(x1)，即 yx3，令 y0，得 x3，当 x3 时，ymax|AB|.2121222跟踪训练 3 解 设点 P(x，y)，则点 P 在直线 l：4x3y100 上，x2y2()2x2y2()2x02y02|OP|2.如图所示，当 OPl 时，|OP|取最小值|OM|，原点 O 到直线 l 的距离|OM|d2，|10|4232即|OP|的最小值是 2，所以 x2y2的最小值是 4.2017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案8例 4 解 (1)设点 A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)，则Error!解得Error!故 A(2,8)因为 P 为直线 l 上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当 B、P、A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点 P 即是直线 AB与直线 l 的交点，解Error!得Error!故所求的点 P 的坐标为(2,3)(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PB|PA|取得最大值为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，解Error!得Error!故所求的点 P 的坐标为(12,10)跟踪训练 4 解 (1)如图，点 B 关于直线 l 的对称点 B(3,3)直线 AB的方程为 2xy90，由Error!解得Error!即 P(2,5)(2)如图，点 C 关于直线 l 的对称点C( ，)，352452017-2018 学年高中数学北师大版必修 2 学案9由图像可知，|PA|PC|AC|.当点 P 是直线 AC与 l 的交点时“”成立，直线 AC的方程为 19x17y930，由Error!解得Error!P(，)117267当堂训练1D 2.C 3.B 4.A 5.0 或 5